График функции y = x*cos(2*x)

Вы ввели

f(x) = x*cos(2*x)

$$f{\left (x \right )} = x \cos{\left (2 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{3} = -93.4623814443$$
$$x_{4} = 77.7544181763$$
$$x_{5} = -13.3517687778$$
$$x_{6} = -71.4712328692$$
$$x_{7} = 33.7721210261$$
$$x_{8} = -47.9092879672$$
$$x_{9} = 66.7588438888$$
$$x_{10} = 69.9004365424$$
$$x_{11} = -25.9181393921$$
$$x_{12} = 63.6172512352$$
$$x_{13} = 30.6305283725$$
$$x_{14} = -49.480084294$$
$$x_{15} = 84.0376034835$$
$$x_{16} = 54.1924732744$$
$$x_{17} = 2.35619449019$$
$$x_{18} = -33.7721210261$$
$$x_{19} = 10.2101761242$$
$$x_{20} = 62.0464549084$$
$$x_{21} = 76.1836218496$$
$$x_{22} = 49.480084294$$
$$x_{23} = -2.35619449019$$
$$x_{24} = -5.49778714378$$
$$x_{25} = -55.7632696012$$
$$x_{26} = 60.4756585816$$
$$x_{27} = -54.1924732744$$
$$x_{28} = -38.4845100065$$
$$x_{29} = -46.3384916404$$
$$x_{30} = 40.0553063333$$
$$x_{31} = 41.6261026601$$
$$x_{32} = -32.2013246993$$
$$x_{33} = -79.3252145031$$
$$x_{34} = -18.0641577581$$
$$x_{35} = -62.0464549084$$
$$x_{36} = 46.3384916404$$
$$x_{37} = -11.780972451$$
$$x_{38} = 27.4889357189$$
$$x_{39} = 0$$
$$x_{40} = 73.042029196$$
$$x_{41} = 85.6083998103$$
$$x_{42} = 32.2013246993$$
$$x_{43} = 74.6128255228$$
$$x_{44} = -63.6172512352$$
$$x_{45} = -76.1836218496$$
$$x_{46} = 18.0641577581$$
$$x_{47} = -99.7455667515$$
$$x_{48} = -60.4756585816$$
$$x_{49} = -90.3207887907$$
$$x_{50} = -16.4933614313$$
$$x_{51} = -69.9004365424$$
$$x_{52} = 88.7499924639$$
$$x_{53} = 3.92699081699$$
$$x_{54} = 11.780972451$$
$$x_{55} = 98.1747704247$$
$$x_{56} = -19.6349540849$$
$$x_{57} = 38.4845100065$$
$$x_{58} = 24.3473430653$$
$$x_{59} = -84.0376034835$$
$$x_{60} = -35.3429173529$$
$$x_{61} = -41.6261026601$$
$$x_{62} = -91.8915851175$$
$$x_{63} = -80.8960108299$$
$$x_{64} = 82.4668071567$$
$$x_{65} = 96.6039740979$$
$$x_{66} = 25.9181393921$$
$$x_{67} = -27.4889357189$$
$$x_{68} = -24.3473430653$$
$$x_{69} = -82.4668071567$$
$$x_{70} = -10.2101761242$$
$$x_{71} = -40.0553063333$$
$$x_{72} = -0.785398163397$$
$$x_{73} = -85.6083998103$$
$$x_{74} = 7.06858347058$$
$$x_{75} = -57.334065928$$
$$x_{76} = -98.1747704247$$
$$x_{77} = 47.9092879672$$
$$x_{78} = 16.4933614313$$
$$x_{79} = -3.92699081699$$
$$x_{80} = 68.3296402156$$
$$x_{81} = 19.6349540849$$
$$x_{82} = 5.49778714378$$
$$x_{83} = 99.7455667515$$
$$x_{84} = 52.6216769476$$
$$x_{85} = -68.3296402156$$
$$x_{86} = 55.7632696012$$
$$x_{87} = 91.8915851175$$
$$x_{88} = 8.63937979737$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*cos(2*x).
$$0 \cos{\left (0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 x \sin{\left (2 x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -61.2651372786$$
$$x_{2} = -51.8411010631$$
$$x_{3} = -83.2552080992$$
$$x_{4} = -20.4325851652$$
$$x_{5} = 42.417394359$$
$$x_{6} = 45.5585806972$$
$$x_{7} = -43.9879802762$$
$$x_{8} = 14.1548214272$$
$$x_{9} = -80.1137331896$$
$$x_{10} = -45.5585806972$$
$$x_{11} = -28.2831721399$$
$$x_{12} = -36.1352335302$$
$$x_{13} = -31.4238815972$$
$$x_{14} = -94.2504320905$$
$$x_{15} = 87.9674362306$$
$$x_{16} = -42.417394359$$
$$x_{17} = -72.2600907018$$
$$x_{18} = -53.4117555918$$
$$x_{19} = 61.2651372786$$
$$x_{20} = 6.32264361193$$
$$x_{21} = 86.3966915707$$
$$x_{22} = -15.7238573188$$
$$x_{23} = 51.8411010631$$
$$x_{24} = 92.6796807176$$
$$x_{25} = -14.1548214272$$
$$x_{26} = 37.7057417444$$
$$x_{27} = 29.8535036527$$
$$x_{28} = 1.71280922974$$
$$x_{29} = -75.4015392197$$
$$x_{30} = -59.6944483144$$
$$x_{31} = 15.7238573188$$
$$x_{32} = -97.3919391863$$
$$x_{33} = 34.5647514869$$
$$x_{34} = 94.2504320905$$
$$x_{35} = 72.2600907018$$
$$x_{36} = 78.5429992666$$
$$x_{37} = -9.45120497843$$
$$x_{38} = -103.674968932$$
$$x_{39} = -67.5479430595$$
$$x_{40} = -6.32264361193$$
$$x_{41} = 12.5862231633$$
$$x_{42} = 65.9772348386$$
$$x_{43} = -11.018248364$$
$$x_{44} = 0.43016679451$$
$$x_{45} = 48.6998194395$$
$$x_{46} = 59.6944483144$$
$$x_{47} = -39.2762729921$$
$$x_{48} = 36.1352335302$$
$$x_{49} = -87.9674362306$$
$$x_{50} = 22.0025089604$$
$$x_{51} = 67.5479430595$$
$$x_{52} = -0.43016679451$$
$$x_{53} = 80.1137331896$$
$$x_{54} = -58.123765152$$
$$x_{55} = 56.5530882745$$
$$x_{56} = 50.2704553934$$
$$x_{57} = -17.2932121076$$
$$x_{58} = -95.8211849372$$
$$x_{59} = 3.21864908959$$
$$x_{60} = -22.0025089604$$
$$x_{61} = -73.8308134277$$
$$x_{62} = -37.7057417444$$
$$x_{63} = 89.5381827032$$
$$x_{64} = 20.4325851652$$
$$x_{65} = 7.88564243741$$
$$x_{66} = 26.7128952387$$
$$x_{67} = -89.5381827032$$
$$x_{68} = 9.45120497843$$
$$x_{69} = 58.123765152$$
$$x_{70} = 73.8308134277$$
$$x_{71} = -29.8535036527$$
$$x_{72} = 70.6893712464$$
$$x_{73} = 28.2831721399$$
$$x_{74} = 43.9879802762$$
$$x_{75} = -86.3966915707$$
$$x_{76} = -50.2704553934$$
$$x_{77} = 95.8211849372$$
$$x_{78} = 64.4065309146$$
$$x_{79} = -7.88564243741$$
$$x_{80} = 81.6844695124$$
$$x_{81} = -65.9772348386$$
$$x_{82} = -3.21864908959$$
$$x_{83} = -23.5725488684$$
$$x_{84} = -64.4065309146$$
$$x_{85} = -1.71280922974$$
$$x_{86} = 100.533451629$$
$$x_{87} = 23.5725488684$$
$$x_{88} = 114.670312005$$
$$x_{89} = -81.6844695124$$
Зн. экстремумы в точках:

(-61.2651372786, 61.263097068409)

(-51.8411010631, 51.8386900171372)

(-83.2552080992, 83.2537067322156)

(-20.4325851652, 20.4264702322587)

(42.417394359, -42.4144477618284)

(45.5585806972, -45.5558372248235)

(-43.9879802762, -43.9851388662124)

(14.1548214272, -14.1459987695472)

(-80.1137331896, 80.112172953406)

(-45.5585806972, 45.5558372248235)

(-28.2831721399, -28.2787535864381)

(-36.1352335302, 36.1317747991247)

(-31.4238815972, -31.4199044860772)

(-94.2504320905, -94.2491058646707)

(87.9674362306, 87.9660152847086)

(-42.417394359, 42.4144477618284)

(-72.2600907018, -72.2583609016736)

(-53.4117555918, -53.4094154368825)

(61.2651372786, -61.263097068409)

(6.32264361193, 6.30296564894634)

(86.3966915707, -86.3952447924177)

(-15.7238573188, -15.7159136392673)

(51.8411010631, -51.8386900171372)

(92.6796807176, -92.6783320156182)

(-14.1548214272, 14.1459987695472)

(37.7057417444, 37.702427036601)

(29.8535036527, -29.8493174201329)

(1.71280922974, -1.64418569779545)

(-75.4015392197, -75.3998814833205)

(-59.6944483144, -59.6923544275184)

(15.7238573188, 15.7159136392673)

(-97.3919391863, -97.390655737879)

(34.5647514869, 34.5611356534609)

(94.2504320905, 94.2491058646707)

(72.2600907018, 72.2583609016736)

(78.5429992666, 78.5414078300528)

(-9.45120497843, -9.43800684898451)

(-103.674968932, -103.673763262022)

(-67.5479430595, 67.546092598104)

(-6.32264361193, -6.30296564894634)

(12.5862231633, 12.5763034089358)

(65.9772348386, 65.9753403273413)

(-11.018248364, 11.0069210395792)

(0.43016679451, 0.280548169095522)

(48.6998194395, -48.6972528978117)

(59.6944483144, 59.6923544275184)

(-39.2762729921, 39.2730907958671)

(36.1352335302, -36.1317747991247)

(-87.9674362306, -87.9660152847086)

(22.0025089604, 21.9968299895532)

(67.5479430595, -67.546092598104)

(-0.43016679451, -0.280548169095522)

(80.1137331896, -80.112172953406)

(-58.123765152, 58.1216146879934)

(56.5530882745, 56.5508780915478)

(50.2704553934, 50.267969027913)

(-17.2932121076, 17.2859883667942)

(-95.8211849372, 95.8198804506423)

(3.21864908959, 3.18050197241693)

(-22.0025089604, -21.9968299895532)

(-73.8308134277, 73.829120425871)

(-37.7057417444, -37.702427036601)

(89.5381827032, -89.5367866833941)

(20.4325851652, -20.4264702322587)

(7.88564243741, -7.86983848106687)

(26.7128952387, -26.7082170799481)

(-89.5381827032, 89.5367866833941)

(9.45120497843, 9.43800684898451)

(58.123765152, -58.1216146879934)

(73.8308134277, -73.829120425871)

(-29.8535036527, 29.8493174201329)

(70.6893712464, -70.687603012927)

(28.2831721399, 28.2787535864381)

(43.9879802762, 43.9851388662124)

(-86.3966915707, 86.3952447924177)

(-50.2704553934, -50.267969027913)

(95.8211849372, -95.8198804506423)

(64.4065309146, -64.4045902053056)

(-7.88564243741, 7.86983848106687)

(81.6844695124, 81.6829392767655)

(-65.9772348386, -65.9753403273413)

(-3.21864908959, -3.18050197241693)

(-23.5725488684, 23.567247878771)

(-64.4065309146, 64.4045902053056)

(-1.71280922974, 1.64418569779545)

(100.533451629, 100.532208284673)

(23.5725488684, -23.567247878771)

(114.670312005, -114.669221939379)

(-81.6844695124, -81.6829392767655)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{89} = 42.417394359$$
$$x_{89} = 45.5585806972$$
$$x_{89} = -43.9879802762$$
$$x_{89} = 14.1548214272$$
$$x_{89} = -28.2831721399$$
$$x_{89} = -31.4238815972$$
$$x_{89} = -94.2504320905$$
$$x_{89} = -72.2600907018$$
$$x_{89} = -53.4117555918$$
$$x_{89} = 61.2651372786$$
$$x_{89} = 86.3966915707$$
$$x_{89} = -15.7238573188$$
$$x_{89} = 51.8411010631$$
$$x_{89} = 92.6796807176$$
$$x_{89} = 29.8535036527$$
$$x_{89} = 1.71280922974$$
$$x_{89} = -75.4015392197$$
$$x_{89} = -59.6944483144$$
$$x_{89} = -97.3919391863$$
$$x_{89} = -9.45120497843$$
$$x_{89} = -103.674968932$$
$$x_{89} = -6.32264361193$$
$$x_{89} = 48.6998194395$$
$$x_{89} = 36.1352335302$$
$$x_{89} = -87.9674362306$$
$$x_{89} = 67.5479430595$$
$$x_{89} = -0.43016679451$$
$$x_{89} = 80.1137331896$$
$$x_{89} = -22.0025089604$$
$$x_{89} = -37.7057417444$$
$$x_{89} = 89.5381827032$$
$$x_{89} = 20.4325851652$$
$$x_{89} = 7.88564243741$$
$$x_{89} = 26.7128952387$$
$$x_{89} = 58.123765152$$
$$x_{89} = 73.8308134277$$
$$x_{89} = 70.6893712464$$
$$x_{89} = -50.2704553934$$
$$x_{89} = 95.8211849372$$
$$x_{89} = 64.4065309146$$
$$x_{89} = -65.9772348386$$
$$x_{89} = -3.21864908959$$
$$x_{89} = 23.5725488684$$
$$x_{89} = 114.670312005$$
$$x_{89} = -81.6844695124$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{89} = -61.2651372786$$
$$x_{89} = -51.8411010631$$
$$x_{89} = -83.2552080992$$
$$x_{89} = -20.4325851652$$
$$x_{89} = -80.1137331896$$
$$x_{89} = -45.5585806972$$
$$x_{89} = -36.1352335302$$
$$x_{89} = 87.9674362306$$
$$x_{89} = -42.417394359$$
$$x_{89} = 6.32264361193$$
$$x_{89} = -14.1548214272$$
$$x_{89} = 37.7057417444$$
$$x_{89} = 15.7238573188$$
$$x_{89} = 34.5647514869$$
$$x_{89} = 94.2504320905$$
$$x_{89} = 72.2600907018$$
$$x_{89} = 78.5429992666$$
$$x_{89} = -67.5479430595$$
$$x_{89} = 12.5862231633$$
$$x_{89} = 65.9772348386$$
$$x_{89} = -11.018248364$$
$$x_{89} = 0.43016679451$$
$$x_{89} = 59.6944483144$$
$$x_{89} = -39.2762729921$$
$$x_{89} = 22.0025089604$$
$$x_{89} = -58.123765152$$
$$x_{89} = 56.5530882745$$
$$x_{89} = 50.2704553934$$
$$x_{89} = -17.2932121076$$
$$x_{89} = -95.8211849372$$
$$x_{89} = 3.21864908959$$
$$x_{89} = -73.8308134277$$
$$x_{89} = -89.5381827032$$
$$x_{89} = 9.45120497843$$
$$x_{89} = -29.8535036527$$
$$x_{89} = 28.2831721399$$
$$x_{89} = 43.9879802762$$
$$x_{89} = -86.3966915707$$
$$x_{89} = -7.88564243741$$
$$x_{89} = 81.6844695124$$
$$x_{89} = -23.5725488684$$
$$x_{89} = -64.4065309146$$
$$x_{89} = -1.71280922974$$
$$x_{89} = 100.533451629$$
Убывает на промежутках

[114.670312005, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -103.674968932]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 4 \left(x \cos{\left (2 x \right )} + \sin{\left (2 x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 120.170079673$$
$$x_{2} = 32.2168395519$$
$$x_{3} = 5.58635293416$$
$$x_{4} = 77.760847793$$
$$x_{5} = -25.9374070267$$
$$x_{6} = -91.8970257753$$
$$x_{7} = -99.7505790858$$
$$x_{8} = -98.1798629426$$
$$x_{9} = -90.3263240494$$
$$x_{10} = -33.7869153354$$
$$x_{11} = 60.4839244878$$
$$x_{12} = -41.6381085825$$
$$x_{13} = 38.4974949446$$
$$x_{14} = 88.7556256713$$
$$x_{15} = 10.258761455$$
$$x_{16} = -62.0545116429$$
$$x_{17} = 19.6603640661$$
$$x_{18} = -84.0435524991$$
$$x_{19} = -71.4782275499$$
$$x_{20} = 4.04808180161$$
$$x_{21} = 84.0435524991$$
$$x_{22} = 91.8970257753$$
$$x_{23} = -55.7722336752$$
$$x_{24} = 8.6966219823$$
$$x_{25} = 47.9197205706$$
$$x_{26} = 55.7722336752$$
$$x_{27} = 69.907588354$$
$$x_{28} = -40.067782597$$
$$x_{29} = -82.4728694594$$
$$x_{30} = -1.14446486405$$
$$x_{31} = -24.3678503975$$
$$x_{32} = 54.2016970314$$
$$x_{33} = 33.7869153354$$
$$x_{34} = -93.46773068$$
$$x_{35} = 2.54349254705$$
$$x_{36} = -18.0917665454$$
$$x_{37} = 90.3263240494$$
$$x_{38} = -54.2016970314$$
$$x_{39} = -10.258761455$$
$$x_{40} = 63.6251091209$$
$$x_{41} = -58.9133484808$$
$$x_{42} = 71.4782275499$$
$$x_{43} = -13.3890435378$$
$$x_{44} = -63.6251091209$$
$$x_{45} = 18.0917665454$$
$$x_{46} = 30.6468374831$$
$$x_{47} = -46.3492776217$$
$$x_{48} = -60.4839244878$$
$$x_{49} = 99.7505790858$$
$$x_{50} = 49.4901859326$$
$$x_{51} = -77.760847793$$
$$x_{52} = 25.9374070267$$
$$x_{53} = -76.1901839979$$
$$x_{54} = 11.8231619098$$
$$x_{55} = -38.4974949446$$
$$x_{56} = -47.9197205706$$
$$x_{57} = -66.7663321332$$
$$x_{58} = -79.3315168347$$
$$x_{59} = -49.4901859326$$
$$x_{60} = -69.907588354$$
$$x_{61} = -35.3570550333$$
$$x_{62} = 85.6142396947$$
$$x_{63} = 52.6311758774$$
$$x_{64} = -57.3427845371$$
$$x_{65} = 96.6091494063$$
$$x_{66} = 46.3492776217$$
$$x_{67} = -85.6142396947$$
$$x_{68} = 16.5235843474$$
$$x_{69} = -32.2168395519$$
$$x_{70} = 24.3678503975$$
$$x_{71} = 40.067782597$$
$$x_{72} = -11.8231619098$$
$$x_{73} = 41.6381085825$$
$$x_{74} = 27.5071048394$$
$$x_{75} = -21.2292853858$$
$$x_{76} = 74.6195257807$$
$$x_{77} = 68.3369563786$$
$$x_{78} = 0$$
$$x_{79} = 98.1798629426$$
$$x_{80} = 76.1901839979$$
$$x_{81} = -68.3369563786$$
$$x_{82} = -5.58635293416$$
$$x_{83} = -19.6603640661$$
$$x_{84} = -27.5071048394$$
$$x_{85} = 66.7663321332$$
$$x_{86} = -4.04808180161$$
$$x_{87} = 82.4728694594$$
$$x_{88} = 62.0545116429$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[120.170079673, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -98.1798629426]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \cos{\left (2 x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \cos{\left (2 x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*cos(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (2 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (2 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \cos{\left (2 x \right )} = - x \cos{\left (2 x \right )}$$
- Нет
$$x \cos{\left (2 x \right )} = - -1 x \cos{\left (2 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной