График функции y = x*cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = x*cos(x)
f(x)=xcos(x)f{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)}
График функции
0-80-60-40-2020406080-2020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
xcos(x)=0x \cos{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
Численное решение
x1=83.2522053201295x_{1} = 83.2522053201295
x2=45.553093477052x_{2} = -45.553093477052
x3=80.1106126665397x_{3} = -80.1106126665397
x4=86.3937979737193x_{4} = -86.3937979737193
x5=10.9955742875643x_{5} = 10.9955742875643
x6=114.668131856027x_{6} = 114.668131856027
x7=32.9867228626928x_{7} = -32.9867228626928
x8=86.3937979737193x_{8} = 86.3937979737193
x9=48.6946861306418x_{9} = 48.6946861306418
x10=1.5707963267949x_{10} = -1.5707963267949
x11=0x_{11} = 0
x12=73.8274273593601x_{12} = 73.8274273593601
x13=54.9778714378214x_{13} = 54.9778714378214
x14=23.5619449019235x_{14} = 23.5619449019235
x15=7.85398163397448x_{15} = 7.85398163397448
x16=61.261056745001x_{16} = 61.261056745001
x17=14.1371669411541x_{17} = -14.1371669411541
x18=95.8185759344887x_{18} = -95.8185759344887
x19=17.2787595947439x_{19} = -17.2787595947439
x20=17.2787595947439x_{20} = 17.2787595947439
x21=80.1106126665397x_{21} = 80.1106126665397
x22=64.4026493985908x_{22} = 64.4026493985908
x23=61.261056745001x_{23} = -61.261056745001
x24=54.9778714378214x_{24} = -54.9778714378214
x25=89.5353906273091x_{25} = -89.5353906273091
x26=20.4203522483337x_{26} = 20.4203522483337
x27=89.5353906273091x_{27} = 89.5353906273091
x28=10.9955742875643x_{28} = -10.9955742875643
x29=26.7035375555132x_{29} = 26.7035375555132
x30=1.5707963267949x_{30} = 1.5707963267949
x31=29.845130209103x_{31} = 29.845130209103
x32=45.553093477052x_{32} = 45.553093477052
x33=36.1283155162826x_{33} = 36.1283155162826
x34=51.8362787842316x_{34} = -51.8362787842316
x35=4.71238898038469x_{35} = -4.71238898038469
x36=4.71238898038469x_{36} = 4.71238898038469
x37=7.85398163397448x_{37} = -7.85398163397448
x38=95.8185759344887x_{38} = 95.8185759344887
x39=73.8274273593601x_{39} = -73.8274273593601
x40=23.5619449019235x_{40} = -23.5619449019235
x41=32.9867228626928x_{41} = 32.9867228626928
x42=114.668131856027x_{42} = -114.668131856027
x43=51.8362787842316x_{43} = 51.8362787842316
x44=48.6946861306418x_{44} = -48.6946861306418
x45=58.1194640914112x_{45} = 58.1194640914112
x46=70.6858347057703x_{46} = -70.6858347057703
x47=26.7035375555132x_{47} = -26.7035375555132
x48=76.9690200129499x_{48} = -76.9690200129499
x49=39.2699081698724x_{49} = 39.2699081698724
x50=92.6769832808989x_{50} = -92.6769832808989
x51=14.1371669411541x_{51} = 14.1371669411541
x52=64.4026493985908x_{52} = -64.4026493985908
x53=42.4115008234622x_{53} = -42.4115008234622
x54=98.9601685880785x_{54} = -98.9601685880785
x55=76.9690200129499x_{55} = 76.9690200129499
x56=42.4115008234622x_{56} = 42.4115008234622
x57=29.845130209103x_{57} = -29.845130209103
x58=39.2699081698724x_{58} = -39.2699081698724
x59=98.9601685880785x_{59} = 98.9601685880785
x60=20.4203522483337x_{60} = -20.4203522483337
x61=70.6858347057703x_{61} = 70.6858347057703
x62=36.1283155162826x_{62} = -36.1283155162826
x63=67.5442420521806x_{63} = 67.5442420521806
x64=92.6769832808989x_{64} = 92.6769832808989
x65=58.1194640914112x_{65} = -58.1194640914112
x66=83.2522053201295x_{66} = -83.2522053201295
x67=67.5442420521806x_{67} = -67.5442420521806
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*cos(x).
0cos(0)0 \cos{\left(0 \right)}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
xsin(x)+cos(x)=0- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=78.5525459842429x_{1} = -78.5525459842429
x2=28.309642854452x_{2} = 28.309642854452
x3=100.540910786842x_{3} = -100.540910786842
x4=50.2853663377737x_{4} = -50.2853663377737
x5=97.3996388790738x_{5} = -97.3996388790738
x6=56.5663442798215x_{6} = 56.5663442798215
x7=62.8477631944545x_{7} = -62.8477631944545
x8=18.90240995686x_{8} = 18.90240995686
x9=34.5864242152889x_{9} = 34.5864242152889
x10=31.4477146375462x_{10} = -31.4477146375462
x11=75.4114834888481x_{11} = 75.4114834888481
x12=147.661626855354x_{12} = -147.661626855354
x13=31.4477146375462x_{13} = 31.4477146375462
x14=84.8347887180423x_{14} = 84.8347887180423
x15=37.7256128277765x_{15} = -37.7256128277765
x16=28.309642854452x_{16} = -28.309642854452
x17=72.270467060309x_{17} = -72.270467060309
x18=0.86033358901938x_{18} = -0.86033358901938
x19=6.43729817917195x_{19} = 6.43729817917195
x20=84.8347887180423x_{20} = -84.8347887180423
x21=9.52933440536196x_{21} = 9.52933440536196
x22=69.1295029738953x_{22} = -69.1295029738953
x23=65.9885986984904x_{23} = 65.9885986984904
x24=56.5663442798215x_{24} = -56.5663442798215
x25=59.7070073053355x_{25} = -59.7070073053355
x26=53.4257904773947x_{26} = 53.4257904773947
x27=25.1724463266467x_{27} = -25.1724463266467
x28=65.9885986984904x_{28} = -65.9885986984904
x29=81.6936492356017x_{29} = 81.6936492356017
x30=22.0364967279386x_{30} = 22.0364967279386
x31=3.42561845948173x_{31} = -3.42561845948173
x32=59.7070073053355x_{32} = 59.7070073053355
x33=22.0364967279386x_{33} = -22.0364967279386
x34=72.270467060309x_{34} = 72.270467060309
x35=69.1295029738953x_{35} = 69.1295029738953
x36=62.8477631944545x_{36} = 62.8477631944545
x37=25.1724463266467x_{37} = 25.1724463266467
x38=12.6452872238566x_{38} = 12.6452872238566
x39=18.90240995686x_{39} = -18.90240995686
x40=37.7256128277765x_{40} = 37.7256128277765
x41=78.5525459842429x_{41} = 78.5525459842429
x42=94.2583883450399x_{42} = 94.2583883450399
x43=94.2583883450399x_{43} = -94.2583883450399
x44=47.145097736761x_{44} = -47.145097736761
x45=6.43729817917195x_{45} = -6.43729817917195
x46=15.7712848748159x_{46} = 15.7712848748159
x47=47.145097736761x_{47} = 47.145097736761
x48=97.3996388790738x_{48} = 97.3996388790738
x49=91.1171613944647x_{49} = 91.1171613944647
x50=50.2853663377737x_{50} = 50.2853663377737
x51=15.7712848748159x_{51} = -15.7712848748159
x52=53.4257904773947x_{52} = -53.4257904773947
x53=91.1171613944647x_{53} = -91.1171613944647
x54=44.0050179208308x_{54} = -44.0050179208308
x55=40.8651703304881x_{55} = 40.8651703304881
x56=34.5864242152889x_{56} = -34.5864242152889
x57=44.0050179208308x_{57} = 44.0050179208308
x58=87.9759605524932x_{58} = 87.9759605524932
x59=87.9759605524932x_{59} = -87.9759605524932
x60=12.6452872238566x_{60} = -12.6452872238566
x61=40.8651703304881x_{61} = -40.8651703304881
x62=116.247530303932x_{62} = -116.247530303932
x63=0.86033358901938x_{63} = 0.86033358901938
x64=81.6936492356017x_{64} = -81.6936492356017
x65=75.4114834888481x_{65} = -75.4114834888481
x66=3.42561845948173x_{66} = 3.42561845948173
x67=100.540910786842x_{67} = 100.540910786842
x68=9.52933440536196x_{68} = -9.52933440536196
Зн. экстремумы в точках:
(-78.5525459842429, 78.5461815917343)

(28.309642854452, -28.2919975390943)

(-100.540910786842, -100.535938055826)

(-50.2853663377737, -50.2754260353972)

(-97.3996388790738, 97.3945057956234)

(56.5663442798215, 56.5575071728762)

(-62.8477631944545, -62.8398089721545)

(18.90240995686, 18.876013697969)

(34.5864242152889, -34.5719767335884)

(-31.4477146375462, -31.4318272785346)

(75.4114834888481, 75.4048540732019)

(-147.661626855354, 147.658240851742)

(31.4477146375462, 31.4318272785346)

(84.8347887180423, -84.8288955236568)

(-37.7256128277765, -37.71236621281)

(-28.309642854452, 28.2919975390943)

(-72.270467060309, 72.2635495982494)

(-0.86033358901938, -0.561096338191045)

(6.43729817917195, 6.36100394483385)

(-84.8347887180423, 84.8288955236568)

(9.52933440536196, -9.47729425947979)

(-69.1295029738953, -69.1222713069218)

(65.9885986984904, -65.9810229367917)

(-56.5663442798215, -56.5575071728762)

(-59.7070073053355, 59.6986348402658)

(53.4257904773947, -53.4164341598961)

(-25.1724463266467, -25.1526068178715)

(-65.9885986984904, 65.9810229367917)

(81.6936492356017, 81.6875294965246)

(22.0364967279386, -22.0138420791585)

(-3.42561845948173, 3.2883713955909)

(59.7070073053355, -59.6986348402658)

(-22.0364967279386, 22.0138420791585)

(72.270467060309, -72.2635495982494)

(69.1295029738953, 69.1222713069218)

(62.8477631944545, 62.8398089721545)

(25.1724463266467, 25.1526068178715)

(12.6452872238566, 12.6059312978927)

(-18.90240995686, -18.876013697969)

(37.7256128277765, 37.71236621281)

(78.5525459842429, -78.5461815917343)

(94.2583883450399, 94.2530842251087)

(-94.2583883450399, -94.2530842251087)

(-47.145097736761, 47.1344957575419)

(-6.43729817917195, -6.36100394483385)

(15.7712848748159, -15.7396769621337)

(47.145097736761, -47.1344957575419)

(97.3996388790738, -97.3945057956234)

(91.1171613944647, -91.1116744496469)

(50.2853663377737, 50.2754260353972)

(-15.7712848748159, 15.7396769621337)

(-53.4257904773947, 53.4164341598961)

(-91.1171613944647, 91.1116744496469)

(-44.0050179208308, -43.9936599791065)

(40.8651703304881, -40.8529404645174)

(-34.5864242152889, 34.5719767335884)

(44.0050179208308, 43.9936599791065)

(87.9759605524932, 87.9702777324248)

(-87.9759605524932, -87.9702777324248)

(-12.6452872238566, -12.6059312978927)

(-40.8651703304881, 40.8529404645174)

(-116.247530303932, 116.243229375987)

(0.86033358901938, 0.561096338191045)

(-81.6936492356017, -81.6875294965246)

(-75.4114834888481, -75.4048540732019)

(3.42561845948173, -3.2883713955909)

(100.540910786842, 100.535938055826)

(-9.52933440536196, 9.47729425947979)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=28.309642854452x_{1} = 28.309642854452
x2=100.540910786842x_{2} = -100.540910786842
x3=50.2853663377737x_{3} = -50.2853663377737
x4=62.8477631944545x_{4} = -62.8477631944545
x5=34.5864242152889x_{5} = 34.5864242152889
x6=31.4477146375462x_{6} = -31.4477146375462
x7=84.8347887180423x_{7} = 84.8347887180423
x8=37.7256128277765x_{8} = -37.7256128277765
x9=0.86033358901938x_{9} = -0.86033358901938
x10=9.52933440536196x_{10} = 9.52933440536196
x11=69.1295029738953x_{11} = -69.1295029738953
x12=65.9885986984904x_{12} = 65.9885986984904
x13=56.5663442798215x_{13} = -56.5663442798215
x14=53.4257904773947x_{14} = 53.4257904773947
x15=25.1724463266467x_{15} = -25.1724463266467
x16=22.0364967279386x_{16} = 22.0364967279386
x17=59.7070073053355x_{17} = 59.7070073053355
x18=72.270467060309x_{18} = 72.270467060309
x19=18.90240995686x_{19} = -18.90240995686
x20=78.5525459842429x_{20} = 78.5525459842429
x21=94.2583883450399x_{21} = -94.2583883450399
x22=6.43729817917195x_{22} = -6.43729817917195
x23=15.7712848748159x_{23} = 15.7712848748159
x24=47.145097736761x_{24} = 47.145097736761
x25=97.3996388790738x_{25} = 97.3996388790738
x26=91.1171613944647x_{26} = 91.1171613944647
x27=44.0050179208308x_{27} = -44.0050179208308
x28=40.8651703304881x_{28} = 40.8651703304881
x29=87.9759605524932x_{29} = -87.9759605524932
x30=12.6452872238566x_{30} = -12.6452872238566
x31=81.6936492356017x_{31} = -81.6936492356017
x32=75.4114834888481x_{32} = -75.4114834888481
x33=3.42561845948173x_{33} = 3.42561845948173
Максимумы функции в точках:
x33=78.5525459842429x_{33} = -78.5525459842429
x33=97.3996388790738x_{33} = -97.3996388790738
x33=56.5663442798215x_{33} = 56.5663442798215
x33=18.90240995686x_{33} = 18.90240995686
x33=75.4114834888481x_{33} = 75.4114834888481
x33=147.661626855354x_{33} = -147.661626855354
x33=31.4477146375462x_{33} = 31.4477146375462
x33=28.309642854452x_{33} = -28.309642854452
x33=72.270467060309x_{33} = -72.270467060309
x33=6.43729817917195x_{33} = 6.43729817917195
x33=84.8347887180423x_{33} = -84.8347887180423
x33=59.7070073053355x_{33} = -59.7070073053355
x33=65.9885986984904x_{33} = -65.9885986984904
x33=81.6936492356017x_{33} = 81.6936492356017
x33=3.42561845948173x_{33} = -3.42561845948173
x33=22.0364967279386x_{33} = -22.0364967279386
x33=69.1295029738953x_{33} = 69.1295029738953
x33=62.8477631944545x_{33} = 62.8477631944545
x33=25.1724463266467x_{33} = 25.1724463266467
x33=12.6452872238566x_{33} = 12.6452872238566
x33=37.7256128277765x_{33} = 37.7256128277765
x33=94.2583883450399x_{33} = 94.2583883450399
x33=47.145097736761x_{33} = -47.145097736761
x33=50.2853663377737x_{33} = 50.2853663377737
x33=15.7712848748159x_{33} = -15.7712848748159
x33=53.4257904773947x_{33} = -53.4257904773947
x33=91.1171613944647x_{33} = -91.1171613944647
x33=34.5864242152889x_{33} = -34.5864242152889
x33=44.0050179208308x_{33} = 44.0050179208308
x33=87.9759605524932x_{33} = 87.9759605524932
x33=40.8651703304881x_{33} = -40.8651703304881
x33=116.247530303932x_{33} = -116.247530303932
x33=0.86033358901938x_{33} = 0.86033358901938
x33=100.540910786842x_{33} = 100.540910786842
x33=9.52933440536196x_{33} = -9.52933440536196
Убывает на промежутках
[97.3996388790738,)\left[97.3996388790738, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,100.540910786842]\left(-\infty, -100.540910786842\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
(xcos(x)+2sin(x))=0- (x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=51.8748140534268x_{1} = -51.8748140534268
x2=83.2762171649775x_{2} = 83.2762171649775
x3=86.4169374541167x_{3} = -86.4169374541167
x4=42.458570771699x_{4} = 42.458570771699
x5=64.4336791037316x_{5} = 64.4336791037316
x6=23.6463238196036x_{6} = -23.6463238196036
x7=92.6985552433969x_{7} = 92.6985552433969
x8=86.4169374541167x_{8} = 86.4169374541167
x9=95.839441141233x_{9} = -95.839441141233
x10=98.9803718651523x_{10} = 98.9803718651523
x11=29.9118938695518x_{11} = -29.9118938695518
x12=0x_{12} = 0
x13=8.09616360322292x_{13} = 8.09616360322292
x14=61.2936749662429x_{14} = -61.2936749662429
x15=61.2936749662429x_{15} = 61.2936749662429
x16=14.2763529183365x_{16} = -14.2763529183365
x17=80.1355651940744x_{17} = -80.1355651940744
x18=23.6463238196036x_{18} = 23.6463238196036
x19=45.5969279840735x_{19} = -45.5969279840735
x20=11.17270586833x_{20} = -11.17270586833
x21=33.0471686947054x_{21} = 33.0471686947054
x22=73.8545010149048x_{22} = -73.8545010149048
x23=45.5969279840735x_{23} = 45.5969279840735
x24=95.839441141233x_{24} = 95.839441141233
x25=73.8545010149048x_{25} = 73.8545010149048
x26=8.09616360322292x_{26} = -8.09616360322292
x27=83.2762171649775x_{27} = -83.2762171649775
x28=67.573830670859x_{28} = -67.573830670859
x29=58.153842078645x_{29} = -58.153842078645
x30=29.9118938695518x_{30} = 29.9118938695518
x31=89.5577188827244x_{31} = 89.5577188827244
x32=67.573830670859x_{32} = 67.573830670859
x33=17.3932439645948x_{33} = -17.3932439645948
x34=5.08698509410227x_{34} = 5.08698509410227
x35=33.0471686947054x_{35} = -33.0471686947054
x36=20.5175229099417x_{36} = 20.5175229099417
x37=26.7780870755585x_{37} = 26.7780870755585
x38=76.9949898891676x_{38} = -76.9949898891676
x39=39.3207281322521x_{39} = -39.3207281322521
x40=11.17270586833x_{40} = 11.17270586833
x41=39.3207281322521x_{41} = 39.3207281322521
x42=55.0142096788381x_{42} = -55.0142096788381
x43=55.0142096788381x_{43} = 55.0142096788381
x44=80.1355651940744x_{44} = 80.1355651940744
x45=36.1835330907526x_{45} = -36.1835330907526
x46=36.1835330907526x_{46} = 36.1835330907526
x47=48.7357007949054x_{47} = 48.7357007949054
x48=76.9949898891676x_{48} = 76.9949898891676
x49=20.5175229099417x_{49} = -20.5175229099417
x50=2.2889297281034x_{50} = -2.2889297281034
x51=2.2889297281034x_{51} = 2.2889297281034
x52=70.7141100665485x_{52} = -70.7141100665485
x53=51.8748140534268x_{53} = 51.8748140534268
x54=26.7780870755585x_{54} = -26.7780870755585
x55=14.2763529183365x_{55} = 14.2763529183365
x56=64.4336791037316x_{56} = -64.4336791037316
x57=58.153842078645x_{57} = 58.153842078645
x58=98.9803718651523x_{58} = -98.9803718651523
x59=89.5577188827244x_{59} = -89.5577188827244
x60=5.08698509410227x_{60} = -5.08698509410227
x61=48.7357007949054x_{61} = -48.7357007949054
x62=92.6985552433969x_{62} = -92.6985552433969
x63=70.7141100665485x_{63} = 70.7141100665485
x64=42.458570771699x_{64} = -42.458570771699
x65=17.3932439645948x_{65} = 17.3932439645948

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[95.839441141233,)\left[95.839441141233, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,95.839441141233]\left(-\infty, -95.839441141233\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(xcos(x))=sign(1,1)\lim_{x \to -\infty}\left(x \cos{\left(x \right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=sign(1,1)y = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
limx(xcos(x))=sign(1,1)\lim_{x \to \infty}\left(x \cos{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=sign(1,1)y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limxcos(x)=1,1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=x1,1y = x \left\langle -1, 1\right\rangle
limxcos(x)=1,1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=x1,1y = x \left\langle -1, 1\right\rangle
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
xcos(x)=xcos(x)x \cos{\left(x \right)} = - x \cos{\left(x \right)}
- Нет
xcos(x)=xcos(x)x \cos{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)}
- Да
значит, функция
является
нечётной
График
График функции y = x*cos(x) /media/krcore-image-pods/hash/xy/8/b1/862fd14a5c3ad1ae82a1c1a4da09c.png