График функции y = x*cos(x)

Вы ввели

f(x) = x*cos(x)

$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 83.2522053201295$$
$$x_{2} = -45.553093477052$$
$$x_{3} = -80.1106126665397$$
$$x_{4} = -86.3937979737193$$
$$x_{5} = 10.9955742875643$$
$$x_{6} = 114.668131856027$$
$$x_{7} = -32.9867228626928$$
$$x_{8} = 86.3937979737193$$
$$x_{9} = 48.6946861306418$$
$$x_{10} = -1.5707963267949$$
$$x_{11} = 0$$
$$x_{12} = 73.8274273593601$$
$$x_{13} = 54.9778714378214$$
$$x_{14} = 23.5619449019235$$
$$x_{15} = 7.85398163397448$$
$$x_{16} = 61.261056745001$$
$$x_{17} = -14.1371669411541$$
$$x_{18} = -95.8185759344887$$
$$x_{19} = -17.2787595947439$$
$$x_{20} = 17.2787595947439$$
$$x_{21} = 80.1106126665397$$
$$x_{22} = 64.4026493985908$$
$$x_{23} = -61.261056745001$$
$$x_{24} = -54.9778714378214$$
$$x_{25} = -89.5353906273091$$
$$x_{26} = 20.4203522483337$$
$$x_{27} = 89.5353906273091$$
$$x_{28} = -10.9955742875643$$
$$x_{29} = 26.7035375555132$$
$$x_{30} = 1.5707963267949$$
$$x_{31} = 29.845130209103$$
$$x_{32} = 45.553093477052$$
$$x_{33} = 36.1283155162826$$
$$x_{34} = -51.8362787842316$$
$$x_{35} = -4.71238898038469$$
$$x_{36} = 4.71238898038469$$
$$x_{37} = -7.85398163397448$$
$$x_{38} = 95.8185759344887$$
$$x_{39} = -73.8274273593601$$
$$x_{40} = -23.5619449019235$$
$$x_{41} = 32.9867228626928$$
$$x_{42} = -114.668131856027$$
$$x_{43} = 51.8362787842316$$
$$x_{44} = -48.6946861306418$$
$$x_{45} = 58.1194640914112$$
$$x_{46} = -70.6858347057703$$
$$x_{47} = -26.7035375555132$$
$$x_{48} = -76.9690200129499$$
$$x_{49} = 39.2699081698724$$
$$x_{50} = -92.6769832808989$$
$$x_{51} = 14.1371669411541$$
$$x_{52} = -64.4026493985908$$
$$x_{53} = -42.4115008234622$$
$$x_{54} = -98.9601685880785$$
$$x_{55} = 76.9690200129499$$
$$x_{56} = 42.4115008234622$$
$$x_{57} = -29.845130209103$$
$$x_{58} = -39.2699081698724$$
$$x_{59} = 98.9601685880785$$
$$x_{60} = -20.4203522483337$$
$$x_{61} = 70.6858347057703$$
$$x_{62} = -36.1283155162826$$
$$x_{63} = 67.5442420521806$$
$$x_{64} = 92.6769832808989$$
$$x_{65} = -58.1194640914112$$
$$x_{66} = -83.2522053201295$$
$$x_{67} = -67.5442420521806$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*cos(x).
$$0 \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -78.5525459842429$$
$$x_{2} = 28.309642854452$$
$$x_{3} = -100.540910786842$$
$$x_{4} = -50.2853663377737$$
$$x_{5} = -97.3996388790738$$
$$x_{6} = 56.5663442798215$$
$$x_{7} = -62.8477631944545$$
$$x_{8} = 18.90240995686$$
$$x_{9} = 34.5864242152889$$
$$x_{10} = -31.4477146375462$$
$$x_{11} = 75.4114834888481$$
$$x_{12} = -147.661626855354$$
$$x_{13} = 31.4477146375462$$
$$x_{14} = 84.8347887180423$$
$$x_{15} = -37.7256128277765$$
$$x_{16} = -28.309642854452$$
$$x_{17} = -72.270467060309$$
$$x_{18} = -0.86033358901938$$
$$x_{19} = 6.43729817917195$$
$$x_{20} = -84.8347887180423$$
$$x_{21} = 9.52933440536196$$
$$x_{22} = -69.1295029738953$$
$$x_{23} = 65.9885986984904$$
$$x_{24} = -56.5663442798215$$
$$x_{25} = -59.7070073053355$$
$$x_{26} = 53.4257904773947$$
$$x_{27} = -25.1724463266467$$
$$x_{28} = -65.9885986984904$$
$$x_{29} = 81.6936492356017$$
$$x_{30} = 22.0364967279386$$
$$x_{31} = -3.42561845948173$$
$$x_{32} = 59.7070073053355$$
$$x_{33} = -22.0364967279386$$
$$x_{34} = 72.270467060309$$
$$x_{35} = 69.1295029738953$$
$$x_{36} = 62.8477631944545$$
$$x_{37} = 25.1724463266467$$
$$x_{38} = 12.6452872238566$$
$$x_{39} = -18.90240995686$$
$$x_{40} = 37.7256128277765$$
$$x_{41} = 78.5525459842429$$
$$x_{42} = 94.2583883450399$$
$$x_{43} = -94.2583883450399$$
$$x_{44} = -47.145097736761$$
$$x_{45} = -6.43729817917195$$
$$x_{46} = 15.7712848748159$$
$$x_{47} = 47.145097736761$$
$$x_{48} = 97.3996388790738$$
$$x_{49} = 91.1171613944647$$
$$x_{50} = 50.2853663377737$$
$$x_{51} = -15.7712848748159$$
$$x_{52} = -53.4257904773947$$
$$x_{53} = -91.1171613944647$$
$$x_{54} = -44.0050179208308$$
$$x_{55} = 40.8651703304881$$
$$x_{56} = -34.5864242152889$$
$$x_{57} = 44.0050179208308$$
$$x_{58} = 87.9759605524932$$
$$x_{59} = -87.9759605524932$$
$$x_{60} = -12.6452872238566$$
$$x_{61} = -40.8651703304881$$
$$x_{62} = -116.247530303932$$
$$x_{63} = 0.86033358901938$$
$$x_{64} = -81.6936492356017$$
$$x_{65} = -75.4114834888481$$
$$x_{66} = 3.42561845948173$$
$$x_{67} = 100.540910786842$$
$$x_{68} = -9.52933440536196$$
Зн. экстремумы в точках:

(-78.5525459842429, 78.5461815917343)

(28.309642854452, -28.2919975390943)

(-100.540910786842, -100.535938055826)

(-50.2853663377737, -50.2754260353972)

(-97.3996388790738, 97.3945057956234)

(56.5663442798215, 56.5575071728762)

(-62.8477631944545, -62.8398089721545)

(18.90240995686, 18.876013697969)

(34.5864242152889, -34.5719767335884)

(-31.4477146375462, -31.4318272785346)

(75.4114834888481, 75.4048540732019)

(-147.661626855354, 147.658240851742)

(31.4477146375462, 31.4318272785346)

(84.8347887180423, -84.8288955236568)

(-37.7256128277765, -37.71236621281)

(-28.309642854452, 28.2919975390943)

(-72.270467060309, 72.2635495982494)

(-0.86033358901938, -0.561096338191045)

(6.43729817917195, 6.36100394483385)

(-84.8347887180423, 84.8288955236568)

(9.52933440536196, -9.47729425947979)

(-69.1295029738953, -69.1222713069218)

(65.9885986984904, -65.9810229367917)

(-56.5663442798215, -56.5575071728762)

(-59.7070073053355, 59.6986348402658)

(53.4257904773947, -53.4164341598961)

(-25.1724463266467, -25.1526068178715)

(-65.9885986984904, 65.9810229367917)

(81.6936492356017, 81.6875294965246)

(22.0364967279386, -22.0138420791585)

(-3.42561845948173, 3.2883713955909)

(59.7070073053355, -59.6986348402658)

(-22.0364967279386, 22.0138420791585)

(72.270467060309, -72.2635495982494)

(69.1295029738953, 69.1222713069218)

(62.8477631944545, 62.8398089721545)

(25.1724463266467, 25.1526068178715)

(12.6452872238566, 12.6059312978927)

(-18.90240995686, -18.876013697969)

(37.7256128277765, 37.71236621281)

(78.5525459842429, -78.5461815917343)

(94.2583883450399, 94.2530842251087)

(-94.2583883450399, -94.2530842251087)

(-47.145097736761, 47.1344957575419)

(-6.43729817917195, -6.36100394483385)

(15.7712848748159, -15.7396769621337)

(47.145097736761, -47.1344957575419)

(97.3996388790738, -97.3945057956234)

(91.1171613944647, -91.1116744496469)

(50.2853663377737, 50.2754260353972)

(-15.7712848748159, 15.7396769621337)

(-53.4257904773947, 53.4164341598961)

(-91.1171613944647, 91.1116744496469)

(-44.0050179208308, -43.9936599791065)

(40.8651703304881, -40.8529404645174)

(-34.5864242152889, 34.5719767335884)

(44.0050179208308, 43.9936599791065)

(87.9759605524932, 87.9702777324248)

(-87.9759605524932, -87.9702777324248)

(-12.6452872238566, -12.6059312978927)

(-40.8651703304881, 40.8529404645174)

(-116.247530303932, 116.243229375987)

(0.86033358901938, 0.561096338191045)

(-81.6936492356017, -81.6875294965246)

(-75.4114834888481, -75.4048540732019)

(3.42561845948173, -3.2883713955909)

(100.540910786842, 100.535938055826)

(-9.52933440536196, 9.47729425947979)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 28.309642854452$$
$$x_{2} = -100.540910786842$$
$$x_{3} = -50.2853663377737$$
$$x_{4} = -62.8477631944545$$
$$x_{5} = 34.5864242152889$$
$$x_{6} = -31.4477146375462$$
$$x_{7} = 84.8347887180423$$
$$x_{8} = -37.7256128277765$$
$$x_{9} = -0.86033358901938$$
$$x_{10} = 9.52933440536196$$
$$x_{11} = -69.1295029738953$$
$$x_{12} = 65.9885986984904$$
$$x_{13} = -56.5663442798215$$
$$x_{14} = 53.4257904773947$$
$$x_{15} = -25.1724463266467$$
$$x_{16} = 22.0364967279386$$
$$x_{17} = 59.7070073053355$$
$$x_{18} = 72.270467060309$$
$$x_{19} = -18.90240995686$$
$$x_{20} = 78.5525459842429$$
$$x_{21} = -94.2583883450399$$
$$x_{22} = -6.43729817917195$$
$$x_{23} = 15.7712848748159$$
$$x_{24} = 47.145097736761$$
$$x_{25} = 97.3996388790738$$
$$x_{26} = 91.1171613944647$$
$$x_{27} = -44.0050179208308$$
$$x_{28} = 40.8651703304881$$
$$x_{29} = -87.9759605524932$$
$$x_{30} = -12.6452872238566$$
$$x_{31} = -81.6936492356017$$
$$x_{32} = -75.4114834888481$$
$$x_{33} = 3.42561845948173$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{33} = -78.5525459842429$$
$$x_{33} = -97.3996388790738$$
$$x_{33} = 56.5663442798215$$
$$x_{33} = 18.90240995686$$
$$x_{33} = 75.4114834888481$$
$$x_{33} = -147.661626855354$$
$$x_{33} = 31.4477146375462$$
$$x_{33} = -28.309642854452$$
$$x_{33} = -72.270467060309$$
$$x_{33} = 6.43729817917195$$
$$x_{33} = -84.8347887180423$$
$$x_{33} = -59.7070073053355$$
$$x_{33} = -65.9885986984904$$
$$x_{33} = 81.6936492356017$$
$$x_{33} = -3.42561845948173$$
$$x_{33} = -22.0364967279386$$
$$x_{33} = 69.1295029738953$$
$$x_{33} = 62.8477631944545$$
$$x_{33} = 25.1724463266467$$
$$x_{33} = 12.6452872238566$$
$$x_{33} = 37.7256128277765$$
$$x_{33} = 94.2583883450399$$
$$x_{33} = -47.145097736761$$
$$x_{33} = 50.2853663377737$$
$$x_{33} = -15.7712848748159$$
$$x_{33} = -53.4257904773947$$
$$x_{33} = -91.1171613944647$$
$$x_{33} = -34.5864242152889$$
$$x_{33} = 44.0050179208308$$
$$x_{33} = 87.9759605524932$$
$$x_{33} = -40.8651703304881$$
$$x_{33} = -116.247530303932$$
$$x_{33} = 0.86033358901938$$
$$x_{33} = 100.540910786842$$
$$x_{33} = -9.52933440536196$$
Убывает на промежутках
$$\left[97.3996388790738, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -100.540910786842\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- (x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -51.8748140534268$$
$$x_{2} = 83.2762171649775$$
$$x_{3} = -86.4169374541167$$
$$x_{4} = 42.458570771699$$
$$x_{5} = 64.4336791037316$$
$$x_{6} = -23.6463238196036$$
$$x_{7} = 92.6985552433969$$
$$x_{8} = 86.4169374541167$$
$$x_{9} = -95.839441141233$$
$$x_{10} = 98.9803718651523$$
$$x_{11} = -29.9118938695518$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = 8.09616360322292$$
$$x_{14} = -61.2936749662429$$
$$x_{15} = 61.2936749662429$$
$$x_{16} = -14.2763529183365$$
$$x_{17} = -80.1355651940744$$
$$x_{18} = 23.6463238196036$$
$$x_{19} = -45.5969279840735$$
$$x_{20} = -11.17270586833$$
$$x_{21} = 33.0471686947054$$
$$x_{22} = -73.8545010149048$$
$$x_{23} = 45.5969279840735$$
$$x_{24} = 95.839441141233$$
$$x_{25} = 73.8545010149048$$
$$x_{26} = -8.09616360322292$$
$$x_{27} = -83.2762171649775$$
$$x_{28} = -67.573830670859$$
$$x_{29} = -58.153842078645$$
$$x_{30} = 29.9118938695518$$
$$x_{31} = 89.5577188827244$$
$$x_{32} = 67.573830670859$$
$$x_{33} = -17.3932439645948$$
$$x_{34} = 5.08698509410227$$
$$x_{35} = -33.0471686947054$$
$$x_{36} = 20.5175229099417$$
$$x_{37} = 26.7780870755585$$
$$x_{38} = -76.9949898891676$$
$$x_{39} = -39.3207281322521$$
$$x_{40} = 11.17270586833$$
$$x_{41} = 39.3207281322521$$
$$x_{42} = -55.0142096788381$$
$$x_{43} = 55.0142096788381$$
$$x_{44} = 80.1355651940744$$
$$x_{45} = -36.1835330907526$$
$$x_{46} = 36.1835330907526$$
$$x_{47} = 48.7357007949054$$
$$x_{48} = 76.9949898891676$$
$$x_{49} = -20.5175229099417$$
$$x_{50} = -2.2889297281034$$
$$x_{51} = 2.2889297281034$$
$$x_{52} = -70.7141100665485$$
$$x_{53} = 51.8748140534268$$
$$x_{54} = -26.7780870755585$$
$$x_{55} = 14.2763529183365$$
$$x_{56} = -64.4336791037316$$
$$x_{57} = 58.153842078645$$
$$x_{58} = -98.9803718651523$$
$$x_{59} = -89.5577188827244$$
$$x_{60} = -5.08698509410227$$
$$x_{61} = -48.7357007949054$$
$$x_{62} = -92.6985552433969$$
$$x_{63} = 70.7141100665485$$
$$x_{64} = -42.458570771699$$
$$x_{65} = 17.3932439645948$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[95.839441141233, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -95.839441141233\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \cos{\left(x \right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \cos{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \cos{\left(x \right)} = - x \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$x \cos{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График