График функции y = x*cot(x)

Вы ввели

f(x) = x*cot(x)

$$f{\left (x \right )} = x \cot{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \cot{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = 39.2699081699$$
$$x_{3} = 51.8362787842$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = -17.2787595947$$
$$x_{6} = 45.5530934771$$
$$x_{7} = 61.261056745$$
$$x_{8} = 83.2522053201$$
$$x_{9} = -70.6858347058$$
$$x_{10} = -89.5353906273$$
$$x_{11} = 92.6769832809$$
$$x_{12} = 76.9690200129$$
$$x_{13} = -32.9867228627$$
$$x_{14} = 17.2787595947$$
$$x_{15} = -48.6946861306$$
$$x_{16} = -80.1106126665$$
$$x_{17} = -42.4115008235$$
$$x_{18} = -58.1194640914$$
$$x_{19} = 1.57079632679$$
$$x_{20} = -95.8185759345$$
$$x_{21} = 95.8185759345$$
$$x_{22} = -36.1283155163$$
$$x_{23} = -64.4026493986$$
$$x_{24} = 36.1283155163$$
$$x_{25} = -61.261056745$$
$$x_{26} = -92.6769832809$$
$$x_{27} = 32.9867228627$$
$$x_{28} = -14.1371669412$$
$$x_{29} = 80.1106126665$$
$$x_{30} = 4.71238898038$$
$$x_{31} = 10.9955742876$$
$$x_{32} = 7.85398163397$$
$$x_{33} = 23.5619449019$$
$$x_{34} = -39.2699081699$$
$$x_{35} = 64.4026493986$$
$$x_{36} = -73.8274273594$$
$$x_{37} = 20.4203522483$$
$$x_{38} = -26.7035375555$$
$$x_{39} = -83.2522053201$$
$$x_{40} = -98.9601685881$$
$$x_{41} = 48.6946861306$$
$$x_{42} = 14.1371669412$$
$$x_{43} = 98.9601685881$$
$$x_{44} = -45.5530934771$$
$$x_{45} = -51.8362787842$$
$$x_{46} = -67.5442420522$$
$$x_{47} = 54.9778714378$$
$$x_{48} = 26.7035375555$$
$$x_{49} = -86.3937979737$$
$$x_{50} = -20.4203522483$$
$$x_{51} = -7.85398163397$$
$$x_{52} = -4.71238898038$$
$$x_{53} = -76.9690200129$$
$$x_{54} = 89.5353906273$$
$$x_{55} = -10.9955742876$$
$$x_{56} = -1.57079632679$$
$$x_{57} = -23.5619449019$$
$$x_{58} = 73.8274273594$$
$$x_{59} = 70.6858347058$$
$$x_{60} = 29.8451302091$$
$$x_{61} = 42.4115008235$$
$$x_{62} = 67.5442420522$$
$$x_{63} = 58.1194640914$$
$$x_{64} = -29.8451302091$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*cot(x).
$$0 \cot{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + \cot{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6.42168942773 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{2} = -1.10028462562 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{3} = 1.65370221642 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{4} = 1.61904873944 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{5} = 4.94904520368 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{6} = 4.14233733556 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{7} = 3.11132936962 \cdot 10^{-13}$$
$$x_{8} = 4.5847372436 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{9} = -3.51090745762 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{10} = -3.62085831763 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{11} = -4.92334203843 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{12} = -4.06279101812 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{13} = -1.79387879993 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{14} = -2.10428377845 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{15} = 1.73191897242 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{16} = 1.15626527833 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{17} = -1.98274474791 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{18} = -1.49427676404 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{19} = -5.64340139631 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{20} = 4.38463104685 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{21} = -9.87053303721 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{22} = -1.03360144497 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{23} = -2.04733750361 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{24} = -5.55874660802 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{25} = 1.24034718039 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{26} = 1.06627540672 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{27} = -1.5163370751 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{28} = -5.74555097424 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{29} = -1.87511913076 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{30} = 1.65999039586 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{31} = -3.28203040888 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{32} = -1.55949463917 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{33} = -5.99685278638 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{34} = -6.40821132708 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{35} = -9.70142387919 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{36} = -8.0525361384 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{37} = -4.18830978571 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{38} = -4.40909774211 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{39} = -6.15762676584 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{40} = -1.13133096761 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{41} = 3.24454072652 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{42} = 1.74173497722 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{43} = 1.44474290132 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{44} = -6.82906419646 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{45} = 2.72320120731 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{46} = 2.64478262616 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{47} = -1.59933915115 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{48} = 1.45362353365 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{49} = -1.88300342913 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{50} = 2.89656109221 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{51} = 1.26980414918 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{52} = 3.1630935409 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{53} = 6.07020865448 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{54} = -2.68607051572 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{55} = 1.25912856578 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{56} = -5.85551512941 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{57} = -2.71634387268 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{58} = -6.61342656564 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{59} = 1.17492255307 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{60} = 2.71254570989 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{61} = -8.00122769768 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{62} = 4.90143812052 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{63} = -2.24754112211 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{64} = -1.01922295711 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -7.17820192753 \cdot 10^{-17}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-6.42168942773e-16, 1)

(-1.10028462562e-15, 1)

(1.65370221642e-15, 1)

(1.61904873944e-15, 1)

(4.94904520368e-19, 1)

(4.14233733556e-16, 1)

(3.11132936962e-13, 1)

(4.5847372436e-15, 1)

(-3.51090745762e-15, 1)

(-3.62085831763e-15, 1)

(-4.92334203843e-15, 1)

(-4.06279101812e-17, 1)

(-1.79387879993e-17, 1)

(-2.10428377845e-19, 1)

(1.73191897242e-19, 1)

(1.15626527833e-14, 1)

(-1.98274474791e-16, 1)

(-1.49427676404e-16, 1)

(-5.64340139631e-18, 1)

(4.38463104685e-16, 1)

(-9.87053303721e-18, 1)

(-1.03360144497e-15, 1)

(-2.04733750361e-15, 1)

(-5.55874660802e-15, 1)

(1.24034718039e-18, 1)

(1.06627540672e-14, 1)

(-1.5163370751e-16, 1)

(-5.74555097424e-17, 1)

(-1.87511913076e-14, 1)

(1.65999039586e-17, 1)

(-3.28203040888e-19, 1)

(-1.55949463917e-15, 1)

(-5.99685278638e-16, 1)

(-6.40821132708e-15, 1)

(-9.70142387919e-15, 1)

(-8.0525361384e-18, 1)

(-4.18830978571e-16, 1)

(-4.40909774211e-17, 1)

(-6.15762676584e-19, 1)

(-1.13133096761e-16, 1)

(3.24454072652e-18, 1)

(1.74173497722e-14, 1)

(1.44474290132e-18, 1)

(-6.82906419646e-18, 1)

(2.72320120731e-14, 1)

(2.64478262616e-17, 1)

(-1.59933915115e-17, 1)

(1.45362353365e-17, 1)

(-1.88300342913e-15, 1)

(2.89656109221e-16, 1)

(1.26980414918e-14, 1)

(3.1630935409e-18, 1)

(6.07020865448e-19, 1)

(-2.68607051572e-17, 1)

(1.25912856578e-18, 1)

(-5.85551512941e-19, 1)

(-2.71634387268e-15, 1)

(-6.61342656564e-19, 1)

(1.17492255307e-17, 1)

(2.71254570989e-17, 1)

(-8.00122769768e-15, 1)

(4.90143812052e-16, 1)

(-2.24754112211e-18, 1)

(-1.01922295711e-15, 1)

(-7.17820192753e-17, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{65} = -6.42168942773 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = -1.10028462562 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = 1.65370221642 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = 1.61904873944 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = 4.94904520368 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{65} = 4.14233733556 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = 3.11132936962 \cdot 10^{-13}$$
$$x_{65} = 4.5847372436 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -3.51090745762 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -3.62085831763 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -4.92334203843 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -4.06279101812 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = -1.79387879993 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = -2.10428377845 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{65} = 1.73191897242 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{65} = 1.15626527833 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{65} = -1.98274474791 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = -1.49427676404 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = -5.64340139631 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{65} = 4.38463104685 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = -9.87053303721 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{65} = -1.03360144497 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -2.04733750361 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -5.55874660802 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = 1.24034718039 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{65} = 1.06627540672 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{65} = -1.5163370751 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = -5.74555097424 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = -1.87511913076 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{65} = 1.65999039586 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = -3.28203040888 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{65} = -1.55949463917 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -5.99685278638 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = -6.40821132708 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -9.70142387919 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -8.0525361384 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{65} = -4.18830978571 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = -4.40909774211 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = -6.15762676584 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{65} = -1.13133096761 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = 3.24454072652 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{65} = 1.74173497722 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{65} = 1.44474290132 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{65} = -6.82906419646 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{65} = 2.72320120731 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{65} = 2.64478262616 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = -1.59933915115 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = 1.45362353365 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = -1.88300342913 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = 2.89656109221 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = 1.26980414918 \cdot 10^{-14}$$
$$x_{65} = 3.1630935409 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{65} = 6.07020865448 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{65} = -2.68607051572 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = 1.25912856578 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{65} = -5.85551512941 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{65} = -2.71634387268 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -6.61342656564 \cdot 10^{-19}$$
$$x_{65} = 1.17492255307 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = 2.71254570989 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{65} = -8.00122769768 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = 4.90143812052 \cdot 10^{-16}$$
$$x_{65} = -2.24754112211 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{65} = -1.01922295711 \cdot 10^{-15}$$
$$x_{65} = -7.17820192753 \cdot 10^{-17}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1.87511913076e-14]

Возрастает на промежутках

[3.11132936962e-13, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -51.8169824873$$
$$x_{2} = 20.3713029593$$
$$x_{3} = 26.6660542588$$
$$x_{4} = 32.9563890398$$
$$x_{5} = 83.2401924707$$
$$x_{6} = 4.49340945791$$
$$x_{7} = 51.8169824873$$
$$x_{8} = -36.1006222444$$
$$x_{9} = -42.3879135681$$
$$x_{10} = -26.6660542588$$
$$x_{11} = -7.72525183694$$
$$x_{12} = -45.531134014$$
$$x_{13} = -61.2447302604$$
$$x_{14} = 89.5242209304$$
$$x_{15} = 92.6661922776$$
$$x_{16} = -32.9563890398$$
$$x_{17} = 61.2447302604$$
$$x_{18} = -54.9596782879$$
$$x_{19} = -48.674144232$$
$$x_{20} = 64.3871195906$$
$$x_{21} = -89.5242209304$$
$$x_{22} = 73.8138806007$$
$$x_{23} = 36.1006222444$$
$$x_{24} = 39.2444323612$$
$$x_{25} = -98.9500628243$$
$$x_{26} = -92.6661922776$$
$$x_{27} = -29.8115987909$$
$$x_{28} = 7.72525183694$$
$$x_{29} = -73.8138806007$$
$$x_{30} = 98.9500628243$$
$$x_{31} = 10.9041216594$$
$$x_{32} = -80.0981286289$$
$$x_{33} = 67.5294347771$$
$$x_{34} = 29.8115987909$$
$$x_{35} = 54.9596782879$$
$$x_{36} = -95.8081387869$$
$$x_{37} = -70.6716857116$$
$$x_{38} = 42.3879135681$$
$$x_{39} = 80.0981286289$$
$$x_{40} = 86.3822220347$$
$$x_{41} = -64.3871195906$$
$$x_{42} = 45.531134014$$
$$x_{43} = 17.2207552719$$
$$x_{44} = 70.6716857116$$
$$x_{45} = -83.2401924707$$
$$x_{46} = -20.3713029593$$
$$x_{47} = 95.8081387869$$
$$x_{48} = -39.2444323612$$
$$x_{49} = 48.674144232$$
$$x_{50} = 14.0661939128$$
$$x_{51} = -58.1022547545$$
$$x_{52} = -4.49340945791$$
$$x_{53} = 76.9560263103$$
$$x_{54} = 58.1022547545$$
$$x_{55} = -14.0661939128$$
$$x_{56} = -76.9560263103$$
$$x_{57} = 23.5194524987$$
$$x_{58} = -10.9041216594$$
$$x_{59} = -86.3822220347$$
$$x_{60} = -23.5194524987$$
$$x_{61} = -67.5294347771$$
$$x_{62} = -17.2207552719$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-4.49340945791, 4.49340945791]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -98.9500628243]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(x \cot{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(x \cot{\left (x \right )}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*cot(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cot{\left (x \right )} = - \cot{\left (\infty \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x \cot{\left (\infty \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \cot{\left (x \right )} = \cot{\left (\infty \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \cot{\left (\infty \right )}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \cot{\left (x \right )} = x \cot{\left (x \right )}$$
- Да
$$x \cot{\left (x \right )} = - x \cot{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной