График функции y = x*cot(x/3)

Вы ввели

            /x\
f(x) = x*cot|-|
            \3/

$$f{\left (x \right )} = x \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \cot{\left (\frac{x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 61.261056745$$
$$x_{2} = -70.6858347058$$
$$x_{3} = -89.5353906273$$
$$x_{4} = -4.71238898038$$
$$x_{5} = -32.9867228627$$
$$x_{6} = -80.1106126665$$
$$x_{7} = -42.4115008235$$
$$x_{8} = 32.9867228627$$
$$x_{9} = -14.1371669412$$
$$x_{10} = 80.1106126665$$
$$x_{11} = 4.71238898038$$
$$x_{12} = 23.5619449019$$
$$x_{13} = 51.8362787842$$
$$x_{14} = 14.1371669412$$
$$x_{15} = -98.9601685881$$
$$x_{16} = 98.9601685881$$
$$x_{17} = -51.8362787842$$
$$x_{18} = -61.261056745$$
$$x_{19} = 89.5353906273$$
$$x_{20} = -23.5619449019$$
$$x_{21} = 70.6858347058$$
$$x_{22} = 42.4115008235$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*cot(x/3).
$$0 \cot{\left (\frac{0}{3} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x \left(- \frac{1}{3} \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \frac{1}{3}\right) + \cot{\left (\frac{x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1.19325648087 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{2} = -1.19325852139 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{3} = 1.19325667662 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{4} = -1.19325648927 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{5} = -1.19325649804 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{6} = -1.19325648117 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{7} = -1.19325648126 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{8} = 1.19325648085 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = -1.19325648085 \cdot 10^{-7}$$
Зн. экстремумы в точках:

(1.19325648087e-07, 3)

(-1.19325852139e-07, 3)

(1.19325667662e-07, 3)

(-1.19325648927e-07, 3)

(-1.19325649804e-07, 3)

(-1.19325648117e-07, 3)

(-1.19325648126e-07, 3)

(1.19325648085e-07, 3)

(-1.19325648085e-07, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{9} = 1.19325648087 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = -1.19325852139 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = 1.19325667662 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = -1.19325648927 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = -1.19325649804 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = -1.19325648117 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = -1.19325648126 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = 1.19325648085 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{9} = -1.19325648085 \cdot 10^{-7}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1.19325852139e-7]

Возрастает на промежутках

[1.19325667662e-7, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{9} \left(2 x \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \cot{\left (\frac{x}{3} \right )} - 6 \cot^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 6\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -98.8691671195$$
$$x_{2} = 42.1985817385$$
$$x_{3} = 98.8691671195$$
$$x_{4} = -23.1757555108$$
$$x_{5} = 61.1139088779$$
$$x_{6} = -32.7123649783$$
$$x_{7} = -13.4802283737$$
$$x_{8} = -89.4347963727$$
$$x_{9} = -51.6622658158$$
$$x_{10} = -79.9981627764$$
$$x_{11} = 79.9981627764$$
$$x_{12} = -70.5583574961$$
$$x_{13} = -42.1985817385$$
$$x_{14} = 23.1757555108$$
$$x_{15} = 70.5583574961$$
$$x_{16} = 51.6622658158$$
$$x_{17} = -61.1139088779$$
$$x_{18} = 89.4347963727$$
$$x_{19} = -136.593402042$$
$$x_{20} = 13.4802283737$$
$$x_{21} = 32.7123649783$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-13.4802283737, 13.4802283737]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -136.593402042]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(x \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(x \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*cot(x/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cot{\left (\frac{x}{3} \right )} = - \cot{\left (\infty \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x \cot{\left (\infty \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \cot{\left (\frac{x}{3} \right )} = \cot{\left (\infty \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \cot{\left (\infty \right )}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \cot{\left (\frac{x}{3} \right )} = x \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}$$
- Нет
$$x \cot{\left (\frac{x}{3} \right )} = - x \cot{\left (\frac{x}{3} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной