График функции y = x*cbrt(1-x)

Вы ввели

         3 _______
f(x) = x*\/ 1 - x 

$$f{\left (x \right )} = x \sqrt[3]{- x + 1}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sqrt[3]{- x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*(1 - x)^(1/3).
$$0 \sqrt[3]{- 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{x}{3 \left(- x + 1\right)^{\frac{2}{3}}} + \sqrt[3]{- x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

        3 ___ 
      3*\/ 2  
(3/4, -------)
         8    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3/4]

Возрастает на промежутках

[3/4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- \frac{\frac{2 x}{- x + 1} + 6}{9 \left(- x + 1\right)^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Выпуклая на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt[3]{- x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt[3]{- x + 1}\right) = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*(1 - x)^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{- x + 1} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{- x + 1} = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1} x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sqrt[3]{- x + 1} = - x \sqrt[3]{x + 1}$$
- Нет
$$x \sqrt[3]{- x + 1} = - -1 x \sqrt[3]{x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной