График функции y = x*log(|x|)

Вы ввели

f(x) = x*log(|x|)

$$f{\left (x \right )} = x \log{\left (\left|{x}\right| \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \log{\left (\left|{x}\right| \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*log(|x|).
$$0 \log{\left (\left|{0}\right| \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x}{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}{\left (x \right )} + \log{\left (\left|{x}\right| \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - e$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-E, -E)

  -1    -1 
(e , -e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = e^{-1}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[exp(-1), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, exp(-1)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left (\left|{x}\right| \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left (\left|{x}\right| \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*log(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\left|{x}\right| \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\left|{x}\right| \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \log{\left (\left|{x}\right| \right )} = - x \log{\left (\left|{x}\right| \right )}$$
- Нет
$$x \log{\left (\left|{x}\right| \right )} = - -1 x \log{\left (\left|{x}\right| \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной