График функции y = x*log(x^2)

Вы ввели

            / 2\
f(x) = x*log\x /

$$f{\left(x \right)} = x \log{\left(x^{2} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \log{\left(x^{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*log(x^2).
$$0 \log{\left(0^{2} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\log{\left(x^{2} \right)} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{e}$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Зн. экстремумы в точках:

   -1     -1 
(-e , 2*e  )

  -1      -1 
(e , -2*e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{-1}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{e}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{e}\right] \cup \left[e^{-1}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{1}{e}, e^{-1}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(x^{2} \right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(x^{2} \right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*log(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x^{2} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x^{2} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \log{\left(x^{2} \right)} = - x \log{\left(x^{2} \right)}$$
- Нет
$$x \log{\left(x^{2} \right)} = x \log{\left(x^{2} \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График