График функции y = x*|x-5|

Вы ввели

f(x) = x*|x - 5|

$$f{\left(x \right)} = x \left|{x - 5}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \left|{x - 5}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*|x - 1*5|.
$$0 \left|{\left(-1\right) 5 + 0}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x \operatorname{sign}{\left(x - 5 \right)} + \left|{x - 5}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2.5$$
Зн. экстремумы в точках:

(2.5, 6.25)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2.5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 2.5\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[2.5, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x \delta\left(x - 5\right) + \operatorname{sign}{\left(x - 5 \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left|{x - 5}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left|{x - 5}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*|x - 1*5|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{x - 5}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{x - 5}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \left|{x - 5}\right| = - x \left|{x + 5}\right|$$
- Нет
$$x \left|{x - 5}\right| = x \left|{x + 5}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График