График функции y = x*pow(sin(x),2)

Вы ввели

            2   
f(x) = x*sin (x)

$$f{\left (x \right )} = x \sin^{2}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sin^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 72.2566310277$$
$$x_{2} = -3.1415927172$$
$$x_{3} = 50.2654824464$$
$$x_{4} = 37.6991120213$$
$$x_{5} = -15.7079632966$$
$$x_{6} = 94.2477796094$$
$$x_{7} = 6.28318528444$$
$$x_{8} = 3.14159299902$$
$$x_{9} = -31.4159267075$$
$$x_{10} = -59.6902604577$$
$$x_{11} = -3.14159295661$$
$$x_{12} = -43.9822971746$$
$$x_{13} = -81.6814090381$$
$$x_{14} = -87.9645943589$$
$$x_{15} = -9.09618852922 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -28.274333719$$
$$x_{17} = -9.42477813385$$
$$x_{18} = 34.5575190323$$
$$x_{19} = 15.7079634454$$
$$x_{20} = 3.14159233535$$
$$x_{21} = 25.132741042$$
$$x_{22} = -12.5663703833$$
$$x_{23} = -37.6991118772$$
$$x_{24} = 87.9645943358$$
$$x_{25} = -18.8495561496$$
$$x_{26} = 43.9822971694$$
$$x_{27} = -21.9911485865$$
$$x_{28} = 3.69946911766 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = 21.9911485852$$
$$x_{30} = 28.2743338652$$
$$x_{31} = 12.5663704572$$
$$x_{32} = 65.9734457529$$
$$x_{33} = 9.42477823217$$
$$x_{34} = 18.8495556907$$
$$x_{35} = -65.9734457651$$
$$x_{36} = -6.28318514963$$
$$x_{37} = 3.14159315168$$
$$x_{38} = 0$$
$$x_{39} = -18.849555722$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sin(x)^2.
$$0 \sin^{2}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 23.5831433103$$
$$x_{2} = 78.5398163397$$
$$x_{3} = -4.81584231785$$
$$x_{4} = -42.4232862577$$
$$x_{5} = -83.2582106616$$
$$x_{6} = 56.5486677646$$
$$x_{7} = -1.83659720315$$
$$x_{8} = -17.3076405374$$
$$x_{9} = 80.1168534697$$
$$x_{10} = 20.4448034666$$
$$x_{11} = -20.4448034666$$
$$x_{12} = 12.5663706144$$
$$x_{13} = -14.1724320748$$
$$x_{14} = -97.3893722613$$
$$x_{15} = -36.142148897$$
$$x_{16} = -61.2692172687$$
$$x_{17} = 43.9822971503$$
$$x_{18} = 278.03274819$$
$$x_{19} = -80.1168534697$$
$$x_{20} = 51.8459224452$$
$$x_{21} = -29.8618724038$$
$$x_{22} = 67.5516436614$$
$$x_{23} = 87.9645943005$$
$$x_{24} = 89.540974605$$
$$x_{25} = 42.4232862577$$
$$x_{26} = -67.5516436614$$
$$x_{27} = -84.8230016469$$
$$x_{28} = 73.8341991855$$
$$x_{29} = -105.248104539$$
$$x_{30} = 36.142148897$$
$$x_{31} = 59.6902604182$$
$$x_{32} = 64.4104119628$$
$$x_{33} = -21.9911485751$$
$$x_{34} = 1.83659720315$$
$$x_{35} = -37.6991118431$$
$$x_{36} = 21.9911485751$$
$$x_{37} = 0$$
$$x_{38} = -94.2477796077$$
$$x_{39} = 15.7079632679$$
$$x_{40} = 50.2654824574$$
$$x_{41} = -53.407075111$$
$$x_{42} = -59.6902604182$$
$$x_{43} = 28.2743338823$$
$$x_{44} = 70.6929074332$$
$$x_{45} = -43.9822971503$$
$$x_{46} = -95.8237937978$$
$$x_{47} = -81.6814089933$$
$$x_{48} = 14.1724320748$$
$$x_{49} = -7.91705268467$$
$$x_{50} = 92.6823779974$$
$$x_{51} = 72.2566310326$$
$$x_{52} = -45.5640665962$$
$$x_{53} = -65.9734457254$$
$$x_{54} = 45.5640665962$$
$$x_{55} = -89.540974605$$
$$x_{56} = -72.2566310326$$
$$x_{57} = -73.8341991855$$
$$x_{58} = 95.8237937978$$
$$x_{59} = 58.1280655762$$
$$x_{60} = 7.91705268467$$
$$x_{61} = -6.28318530718$$
$$x_{62} = 94.2477796077$$
$$x_{63} = 48.7049516667$$
$$x_{64} = -51.8459224452$$
$$x_{65} = -15.7079632679$$
$$x_{66} = 86.399584974$$
$$x_{67} = 81.6814089933$$
$$x_{68} = 65.9734457254$$
$$x_{69} = 3.14159265359$$
$$x_{70} = 100.530964915$$
$$x_{71} = 26.7222463742$$
$$x_{72} = 25.1327412287$$
$$x_{73} = -64.4104119628$$
$$x_{74} = -23.5831433103$$
$$x_{75} = -31.4159265359$$
$$x_{76} = -86.399584974$$
$$x_{77} = -75.3982236862$$
$$x_{78} = -9.42477796077$$
$$x_{79} = 6.28318530718$$
$$x_{80} = -87.9645943005$$
$$x_{81} = -39.2826357527$$
$$x_{82} = -50.2654824574$$
$$x_{83} = -58.1280655762$$
$$x_{84} = 34.5575191895$$
$$x_{85} = 37.6991118431$$
$$x_{86} = 29.8618724038$$
$$x_{87} = -306.306916073$$
$$x_{88} = -28.2743338823$$
Зн. экстремумы в точках:

(23.5831433103, 23.5725472811462)

(78.5398163397, 1.57877228344509e-19)

(-4.81584231785, -4.76448393290203)

(-42.4232862577, -42.4173940862181)

(-83.2582106616, -83.2552080630811)

(56.5486677646, 1.4988928092132e-20)

(-1.83659720315, -1.70986852923209)

(-17.3076405374, -17.2932080946897)

(80.1168534697, 80.1137331491182)

(20.4448034666, 20.4325827297121)

(-20.4448034666, -20.4325827297121)

(12.5663706144, 2.09464820244463e-20)

(-14.1724320748, -14.1548141232633)

(-97.3893722613, -2.62136163098803e-20)

(-36.142148897, -36.135233089007)

(-61.2692172687, -61.2651371880071)

(43.9822971503, 8.09218774162521e-20)

(278.03274819, 278.03184901832)

(-80.1168534697, -80.1137331491182)

(51.8459224452, 51.8411009136761)

(-29.8618724038, -29.853502870657)

(67.5516436614, 67.5479429919576)

(87.9645943005, 1.77728822677337e-20)

(89.540974605, 89.5381826741839)

(42.4232862577, 42.4173940862181)

(-67.5516436614, -67.5479429919576)

(-84.8230016469, -5.05876323109454e-20)

(73.8341991855, 73.830813375922)

(-105.248104539, -105.245729252817)

(36.142148897, 36.135233089007)

(59.6902604182, 2.20211919742348e-21)

(64.4104119628, 64.4065308365988)

(-21.9911485751, -1.79300847735564e-20)

(1.83659720315, 1.70986852923209)

(-37.6991118431, -1.90514351237126e-20)

(21.9911485751, 1.79300847735564e-20)

(0, 0)

(-94.2477796077, -3.6221415774093e-21)

(15.7079632679, 3.76623276654915e-20)

(50.2654824574, 6.76813656163782e-20)

(-53.407075111, -3.74699211283808e-20)

(-59.6902604182, -2.20211919742348e-21)

(28.2743338823, 1.8736160115165e-21)

(70.6929074332, 70.6893711873986)

(-43.9822971503, -8.09218774162521e-20)

(-95.8237937978, -95.8211849135206)

(-81.6814089933, -9.79436585664677e-20)

(14.1724320748, 14.1548141232633)

(-7.91705268467, -7.88560072412753)

(92.6823779974, 92.6796806914592)

(72.2566310326, 8.727137882983e-20)

(-45.5640665962, -45.5585804770373)

(-65.9734457254, -1.3565984591795e-20)

(45.5640665962, 45.5585804770373)

(-89.540974605, -89.5381826741839)

(-72.2566310326, -8.727137882983e-20)

(-73.8341991855, -73.830813375922)

(95.8237937978, 95.8211849135206)

(58.1280655762, 58.1237650459065)

(7.91705268467, 7.88560072412753)

(-6.28318530718, -1.07507305280559e-24)

(94.2477796077, 3.6221415774093e-21)

(48.7049516667, 48.6998192592492)

(-51.8459224452, -51.8411009136761)

(-15.7079632679, -3.76623276654915e-20)

(86.399584974, 86.3966915384367)

(81.6814089933, 9.79436585664677e-20)

(65.9734457254, 1.3565984591795e-20)

(3.14159265359, 1.34384131600699e-25)

(100.530964915, 1.61164273430167e-18)

(26.7222463742, 26.7128941475173)

(25.1327412287, 8.46017070204728e-21)

(-64.4104119628, -64.4065308365988)

(-23.5831433103, -23.5725472811462)

(-31.4159265359, -1.341533917559e-22)

(-86.399584974, -86.3966915384367)

(-75.3982236862, -1.52411480989701e-19)

(-9.42477796077, -3.61799123413847e-24)

(6.28318530718, 1.07507305280559e-24)

(-87.9645943005, -1.77728822677337e-20)

(-39.2826357527, -39.2762726485285)

(-50.2654824574, -6.76813656163782e-20)

(-58.1280655762, -58.1237650459065)

(34.5575191895, 5.20551553255733e-21)

(37.6991118431, 1.90514351237126e-20)

(29.8618724038, 29.853502870657)

(-306.306916073, -306.306099900576)

(-28.2743338823, -1.8736160115165e-21)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{88} = 78.5398163397$$
$$x_{88} = -4.81584231785$$
$$x_{88} = -42.4232862577$$
$$x_{88} = -83.2582106616$$
$$x_{88} = 56.5486677646$$
$$x_{88} = -1.83659720315$$
$$x_{88} = -17.3076405374$$
$$x_{88} = -20.4448034666$$
$$x_{88} = 12.5663706144$$
$$x_{88} = -14.1724320748$$
$$x_{88} = -36.142148897$$
$$x_{88} = -61.2692172687$$
$$x_{88} = 43.9822971503$$
$$x_{88} = -80.1168534697$$
$$x_{88} = -29.8618724038$$
$$x_{88} = 87.9645943005$$
$$x_{88} = -67.5516436614$$
$$x_{88} = -105.248104539$$
$$x_{88} = 59.6902604182$$
$$x_{88} = 21.9911485751$$
$$x_{88} = 15.7079632679$$
$$x_{88} = 50.2654824574$$
$$x_{88} = 28.2743338823$$
$$x_{88} = -95.8237937978$$
$$x_{88} = -7.91705268467$$
$$x_{88} = 72.2566310326$$
$$x_{88} = -45.5640665962$$
$$x_{88} = -89.540974605$$
$$x_{88} = -73.8341991855$$
$$x_{88} = 94.2477796077$$
$$x_{88} = -51.8459224452$$
$$x_{88} = 81.6814089933$$
$$x_{88} = 65.9734457254$$
$$x_{88} = 3.14159265359$$
$$x_{88} = 100.530964915$$
$$x_{88} = 25.1327412287$$
$$x_{88} = -64.4104119628$$
$$x_{88} = -23.5831433103$$
$$x_{88} = -86.399584974$$
$$x_{88} = 6.28318530718$$
$$x_{88} = -39.2826357527$$
$$x_{88} = -58.1280655762$$
$$x_{88} = 34.5575191895$$
$$x_{88} = 37.6991118431$$
$$x_{88} = -306.306916073$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{88} = 23.5831433103$$
$$x_{88} = 80.1168534697$$
$$x_{88} = 20.4448034666$$
$$x_{88} = -97.3893722613$$
$$x_{88} = 278.03274819$$
$$x_{88} = 51.8459224452$$
$$x_{88} = 67.5516436614$$
$$x_{88} = 89.540974605$$
$$x_{88} = 42.4232862577$$
$$x_{88} = -84.8230016469$$
$$x_{88} = 73.8341991855$$
$$x_{88} = 36.142148897$$
$$x_{88} = 64.4104119628$$
$$x_{88} = -21.9911485751$$
$$x_{88} = 1.83659720315$$
$$x_{88} = -37.6991118431$$
$$x_{88} = -94.2477796077$$
$$x_{88} = -53.407075111$$
$$x_{88} = -59.6902604182$$
$$x_{88} = 70.6929074332$$
$$x_{88} = -43.9822971503$$
$$x_{88} = -81.6814089933$$
$$x_{88} = 14.1724320748$$
$$x_{88} = 92.6823779974$$
$$x_{88} = -65.9734457254$$
$$x_{88} = 45.5640665962$$
$$x_{88} = -72.2566310326$$
$$x_{88} = 95.8237937978$$
$$x_{88} = 58.1280655762$$
$$x_{88} = 7.91705268467$$
$$x_{88} = -6.28318530718$$
$$x_{88} = 48.7049516667$$
$$x_{88} = -15.7079632679$$
$$x_{88} = 86.399584974$$
$$x_{88} = 26.7222463742$$
$$x_{88} = -31.4159265359$$
$$x_{88} = -75.3982236862$$
$$x_{88} = -9.42477796077$$
$$x_{88} = -87.9645943005$$
$$x_{88} = -50.2654824574$$
$$x_{88} = 29.8618724038$$
$$x_{88} = -28.2743338823$$
Убывает на промежутках

[100.530964915, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -306.306916073]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- x \sin^{2}{\left (x \right )} + x \cos^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 120.170079673$$
$$x_{2} = 32.2168395519$$
$$x_{3} = 5.58635293416$$
$$x_{4} = 77.760847793$$
$$x_{5} = -25.9374070267$$
$$x_{6} = -91.8970257753$$
$$x_{7} = -99.7505790858$$
$$x_{8} = -98.1798629426$$
$$x_{9} = -90.3263240494$$
$$x_{10} = -33.7869153354$$
$$x_{11} = 60.4839244878$$
$$x_{12} = -41.6381085825$$
$$x_{13} = 38.4974949446$$
$$x_{14} = 88.7556256713$$
$$x_{15} = 10.258761455$$
$$x_{16} = -62.0545116429$$
$$x_{17} = 19.6603640661$$
$$x_{18} = -84.0435524991$$
$$x_{19} = -71.4782275499$$
$$x_{20} = 4.04808180161$$
$$x_{21} = 84.0435524991$$
$$x_{22} = 91.8970257753$$
$$x_{23} = -55.7722336752$$
$$x_{24} = 8.6966219823$$
$$x_{25} = 47.9197205706$$
$$x_{26} = 55.7722336752$$
$$x_{27} = 69.907588354$$
$$x_{28} = -40.067782597$$
$$x_{29} = -82.4728694594$$
$$x_{30} = -1.14446486405$$
$$x_{31} = -24.3678503975$$
$$x_{32} = 54.2016970314$$
$$x_{33} = 33.7869153354$$
$$x_{34} = -93.46773068$$
$$x_{35} = 2.54349254705$$
$$x_{36} = -18.0917665454$$
$$x_{37} = 90.3263240494$$
$$x_{38} = -54.2016970314$$
$$x_{39} = -10.258761455$$
$$x_{40} = 63.6251091209$$
$$x_{41} = -58.9133484808$$
$$x_{42} = 71.4782275499$$
$$x_{43} = -13.3890435378$$
$$x_{44} = -63.6251091209$$
$$x_{45} = 18.0917665454$$
$$x_{46} = 30.6468374831$$
$$x_{47} = -46.3492776217$$
$$x_{48} = -60.4839244878$$
$$x_{49} = 99.7505790858$$
$$x_{50} = 49.4901859326$$
$$x_{51} = -77.760847793$$
$$x_{52} = 25.9374070267$$
$$x_{53} = -76.1901839979$$
$$x_{54} = 11.8231619098$$
$$x_{55} = -38.4974949446$$
$$x_{56} = -47.9197205706$$
$$x_{57} = -66.7663321332$$
$$x_{58} = -79.3315168347$$
$$x_{59} = -49.4901859326$$
$$x_{60} = -69.907588354$$
$$x_{61} = -35.3570550333$$
$$x_{62} = 85.6142396947$$
$$x_{63} = 52.6311758774$$
$$x_{64} = -57.3427845371$$
$$x_{65} = 96.6091494063$$
$$x_{66} = 46.3492776217$$
$$x_{67} = -85.6142396947$$
$$x_{68} = 16.5235843474$$
$$x_{69} = -32.2168395519$$
$$x_{70} = 24.3678503975$$
$$x_{71} = 40.067782597$$
$$x_{72} = -11.8231619098$$
$$x_{73} = 41.6381085825$$
$$x_{74} = 27.5071048394$$
$$x_{75} = -21.2292853858$$
$$x_{76} = 74.6195257807$$
$$x_{77} = 68.3369563786$$
$$x_{78} = 0$$
$$x_{79} = 98.1798629426$$
$$x_{80} = 76.1901839979$$
$$x_{81} = -68.3369563786$$
$$x_{82} = -5.58635293416$$
$$x_{83} = -19.6603640661$$
$$x_{84} = -27.5071048394$$
$$x_{85} = 66.7663321332$$
$$x_{86} = -4.04808180161$$
$$x_{87} = 82.4728694594$$
$$x_{88} = 62.0545116429$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[99.7505790858, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -99.7505790858]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin^{2}{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, 0\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, 0\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin^{2}{\left (x \right )}\right) = \langle 0, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin^{2}{\left (x \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 1\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin^{2}{\left (x \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 1\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sin^{2}{\left (x \right )} = - x \sin^{2}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$x \sin^{2}{\left (x \right )} = - -1 x \sin^{2}{\left (x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной