График функции y = x*sin(pi/x)

Вы ввели

            /pi\
f(x) = x*sin|--|
            \x /

$$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sin(pi/x).
$$0 \sin{\left(\frac{\pi}{0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -29602.8684848388$$
$$x_{2} = 30581.6309983004$$
$$x_{3} = -22822.7291348599$$
$$x_{4} = -42316.2298420376$$
$$x_{5} = 23801.4417704923$$
$$x_{6} = 24648.9460175737$$
$$x_{7} = -35535.7079087597$$
$$x_{8} = -27907.8019934859$$
$$x_{9} = 22953.9449120481$$
$$x_{10} = -38078.390611237$$
$$x_{11} = -39773.5216497282$$
$$x_{12} = -30450.4076606265$$
$$x_{13} = -40621.0895930176$$
$$x_{14} = 34819.3768079445$$
$$x_{15} = 32276.7206419416$$
$$x_{16} = 25496.4569159524$$
$$x_{17} = 36514.493034162$$
$$x_{18} = -32993.0452507614$$
$$x_{19} = 29734.0912592147$$
$$x_{20} = 39057.1823908182$$
$$x_{21} = -27060.2754212728$$
$$x_{22} = -25365.2378549918$$
$$x_{23} = -21975.2418707685$$
$$x_{24} = -36383.2667900212$$
$$x_{25} = -38925.9552872708$$
$$x_{26} = 20411.5078808788$$
$$x_{27} = 28039.0234837095$$
$$x_{28} = -20280.2966954216$$
$$x_{29} = 38209.6174473397$$
$$x_{30} = 26343.9738232498$$
$$x_{31} = 39904.7490038284$$
$$x_{32} = 22106.4562927658$$
$$x_{33} = 40752.3171821719$$
$$x_{34} = 27191.4961772367$$
$$x_{35} = 31429.1742172955$$
$$x_{36} = -26212.7538737752$$
$$x_{37} = -32145.4963081903$$
$$x_{38} = -21127.7639981051$$
$$x_{39} = -41468.6590201828$$
$$x_{40} = 33124.2700260645$$
$$x_{41} = 21258.9768989439$$
$$x_{42} = 42447.4578596894$$
$$x_{43} = 28886.5553065034$$
$$x_{44} = -28755.3331458743$$
$$x_{45} = -34688.1512445134$$
$$x_{46} = -33840.5969639233$$
$$x_{47} = -24517.7279386657$$
$$x_{48} = 35666.9338247019$$
$$x_{49} = 33971.8221480687$$
$$x_{50} = -31297.9503613907$$
$$x_{51} = -37230.8277368372$$
$$x_{52} = 41599.8868301447$$
$$x_{53} = 37362.0542870497$$
$$x_{54} = -23670.2247807833$$
Зн. экстремумы в точках:

(-29602.8684848388, 29602.8684848388*sin(3.37805101729298e-5*pi))

(30581.6309983004, 30581.6309983004*sin(3.269936780205e-5*pi))

(-22822.7291348599, 22822.7291348599*sin(4.38159693387667e-5*pi))

(-42316.2298420376, 42316.2298420376*sin(2.36315948687514e-5*pi))

(23801.4417704923, 23801.4417704923*sin(4.20142615578752e-5*pi))

(24648.9460175737, 24648.9460175737*sin(4.05696859933499e-5*pi))

(-35535.7079087597, 35535.7079087597*sin(2.8140708567494e-5*pi))

(-27907.8019934859, 27907.8019934859*sin(3.5832273721643e-5*pi))

(22953.9449120481, 22953.9449120481*sin(4.35654962069339e-5*pi))

(-38078.390611237, 38078.390611237*sin(2.62616141057416e-5*pi))

(-39773.5216497282, 39773.5216497282*sin(2.51423549769281e-5*pi))

(-30450.4076606265, 30450.4076606265*sin(3.28402828344737e-5*pi))

(-40621.0895930176, 40621.0895930176*sin(2.46177542261666e-5*pi))

(34819.3768079445, 34819.3768079445*sin(2.87196409492268e-5*pi))

(32276.7206419416, 32276.7206419416*sin(3.09820818258892e-5*pi))

(25496.4569159524, 25496.4569159524*sin(3.92211358345374e-5*pi))

(36514.493034162, 36514.493034162*sin(2.73863859773276e-5*pi))

(-32993.0452507614, 32993.0452507614*sin(3.03094180121771e-5*pi))

(29734.0912592147, 29734.0912592147*sin(3.36314297041143e-5*pi))

(39057.1823908182, 39057.1823908182*sin(2.56034854228267e-5*pi))

(-27060.2754212728, 27060.2754212728*sin(3.69545388741267e-5*pi))

(-25365.2378549918, 25365.2378549918*sin(3.94240340152459e-5*pi))

(-21975.2418707685, 21975.2418707685*sin(4.5505756245177e-5*pi))

(-36383.2667900212, 36383.2667900212*sin(2.74851624998739e-5*pi))

(-38925.9552872708, 38925.9552872708*sin(2.56897998422922e-5*pi))

(20411.5078808788, 20411.5078808788*sin(4.89919708938693e-5*pi))

(28039.0234837095, 28039.0234837095*sin(3.5664580137072e-5*pi))

(-20280.2966954216, 20280.2966954216*sin(4.93089433068183e-5*pi))

(38209.6174473397, 38209.6174473397*sin(2.61714214066183e-5*pi))

(26343.9738232498, 26343.9738232498*sin(3.79593453405823e-5*pi))

(39904.7490038284, 39904.7490038284*sin(2.5059673972741e-5*pi))

(22106.4562927658, 22106.4562927658*sin(4.52356536369534e-5*pi))

(40752.3171821719, 40752.3171821719*sin(2.45384819599283e-5*pi))

(27191.4961772367, 27191.4961772367*sin(3.6776203614612e-5*pi))

(31429.1742172955, 31429.1742172955*sin(3.18175715685747e-5*pi))

(-26212.7538737752, 26212.7538737752*sin(3.81493682356076e-5*pi))

(-32145.4963081903, 32145.4963081903*sin(3.11085568694489e-5*pi))

(-21127.7639981051, 21127.7639981051*sin(4.73310853003511e-5*pi))

(-41468.6590201828, 41468.6590201828*sin(2.4114596990303e-5*pi))

(33124.2700260645, 33124.2700260645*sin(3.01893445263286e-5*pi))

(21258.9768989439, 21258.9768989439*sin(4.70389522860659e-5*pi))

(42447.4578596894, 42447.4578596894*sin(2.35585368458463e-5*pi))

(28886.5553065034, 28886.5553065034*sin(3.4618180997679e-5*pi))

(-28755.3331458743, 28755.3331458743*sin(3.47761576931504e-5*pi))

(-34688.1512445134, 34688.1512445134*sin(2.8828287588782e-5*pi))

(-33840.5969639233, 33840.5969639233*sin(2.95503061327812e-5*pi))

(-24517.7279386657, 24517.7279386657*sin(4.07868136273324e-5*pi))

(35666.9338247019, 35666.9338247019*sin(2.80371731675861e-5*pi))

(33971.8221480687, 33971.8221480687*sin(2.94361602283629e-5*pi))

(-31297.9503613907, 31297.9503613907*sin(3.19509740559115e-5*pi))

(-37230.8277368372, 37230.8277368372*sin(2.68594619240918e-5*pi))

(41599.8868301447, 41599.8868301447*sin(2.40385269335725e-5*pi))

(37362.0542870497, 37362.0542870497*sin(2.6765123574766e-5*pi))

(-23670.2247807833, 23670.2247807833*sin(4.22471695668836e-5*pi))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -35535.7079087597$$
$$x_{2} = 22953.9449120481$$
$$x_{3} = 34819.3768079445$$
$$x_{4} = 32276.7206419416$$
$$x_{5} = 28039.0234837095$$
$$x_{6} = -26212.7538737752$$
$$x_{7} = -32145.4963081903$$
$$x_{8} = 42447.4578596894$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{8} = -30450.4076606265$$
$$x_{8} = -21975.2418707685$$
$$x_{8} = 28886.5553065034$$
$$x_{8} = 41599.8868301447$$
$$x_{8} = -23670.2247807833$$
Убывает на промежутках
$$\left[42447.4578596894, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -35535.7079087597\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = \pi$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \pi$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = \pi$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \pi$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(pi/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- Да
$$x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = - x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График