График функции y = x*sin(2*x)

Вы ввели

f(x) = x*sin(2*x)

$$f{\left (x \right )} = x \sin{\left (2 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sin{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -95.8185759345$$
$$x_{2} = 78.5398163397$$
$$x_{3} = -31.4159265359$$
$$x_{4} = 36.1283155163$$
$$x_{5} = 9.42477796077$$
$$x_{6} = 56.5486677646$$
$$x_{7} = 23.5619449019$$
$$x_{8} = 51.8362787842$$
$$x_{9} = 14.1371669412$$
$$x_{10} = -51.8362787842$$
$$x_{11} = 12.5663706144$$
$$x_{12} = -97.3893722613$$
$$x_{13} = -7.85398163397$$
$$x_{14} = 89.5353906273$$
$$x_{15} = -23.5619449019$$
$$x_{16} = 48.6946861306$$
$$x_{17} = 29.8451302091$$
$$x_{18} = 43.9822971503$$
$$x_{19} = 45.5530934771$$
$$x_{20} = 92.6769832809$$
$$x_{21} = -80.1106126665$$
$$x_{22} = -58.1194640914$$
$$x_{23} = 87.9645943005$$
$$x_{24} = 64.4026493986$$
$$x_{25} = 26.7035375555$$
$$x_{26} = -83.2522053201$$
$$x_{27} = 42.4115008235$$
$$x_{28} = 59.6902604182$$
$$x_{29} = -67.5442420522$$
$$x_{30} = -86.3937979737$$
$$x_{31} = -21.9911485751$$
$$x_{32} = -37.6991118431$$
$$x_{33} = 21.9911485751$$
$$x_{34} = -1.57079632679$$
$$x_{35} = -29.8451302091$$
$$x_{36} = 0$$
$$x_{37} = -14.1371669412$$
$$x_{38} = -94.2477796077$$
$$x_{39} = 67.5442420522$$
$$x_{40} = -7.01322827433 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{41} = 86.3937979737$$
$$x_{42} = -17.2787595947$$
$$x_{43} = 15.7079632679$$
$$x_{44} = 50.2654824574$$
$$x_{45} = -53.407075111$$
$$x_{46} = -59.6902604182$$
$$x_{47} = 28.2743338823$$
$$x_{48} = -43.9822971503$$
$$x_{49} = -81.6814089933$$
$$x_{50} = 72.2566310326$$
$$x_{51} = 4.71238898038$$
$$x_{52} = -6.28318530718$$
$$x_{53} = 7.85398163397$$
$$x_{54} = -39.2699081699$$
$$x_{55} = -72.2566310326$$
$$x_{56} = -73.8274273594$$
$$x_{57} = -45.5530934771$$
$$x_{58} = 80.1106126665$$
$$x_{59} = -61.261056745$$
$$x_{60} = -62.8318530718$$
$$x_{61} = 94.2477796077$$
$$x_{62} = 20.4203522483$$
$$x_{63} = -15.7079632679$$
$$x_{64} = -65.9734457254$$
$$x_{65} = 81.6814089933$$
$$x_{66} = 65.9734457254$$
$$x_{67} = 3.14159265359$$
$$x_{68} = 100.530964915$$
$$x_{69} = -89.5353906273$$
$$x_{70} = -4.71238898038$$
$$x_{71} = -42.4115008235$$
$$x_{72} = 58.1194640914$$
$$x_{73} = 95.8185759345$$
$$x_{74} = -36.1283155163$$
$$x_{75} = 73.8274273594$$
$$x_{76} = -75.3982236862$$
$$x_{77} = -9.42477796077$$
$$x_{78} = 6.28318530718$$
$$x_{79} = -87.9645943005$$
$$x_{80} = -50.2654824574$$
$$x_{81} = -64.4026493986$$
$$x_{82} = -20.4203522483$$
$$x_{83} = 34.5575191895$$
$$x_{84} = 37.6991118431$$
$$x_{85} = 70.6858347058$$
$$x_{86} = -3.25875053776 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{87} = 1.57079632679$$
$$x_{88} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sin(2*x).
$$0 \sin{\left (0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x \cos{\left (2 x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 60.4797920995$$
$$x_{2} = 76.1869032063$$
$$x_{3} = -11.8021423865$$
$$x_{4} = -47.9145054045$$
$$x_{5} = 30.6386872668$$
$$x_{6} = 33.7795214194$$
$$x_{7} = 46.343885886$$
$$x_{8} = -25.9277803646$$
$$x_{9} = 49.4851361442$$
$$x_{10} = 82.4698385309$$
$$x_{11} = 19.6476754907$$
$$x_{12} = -57.3384258953$$
$$x_{13} = -10.2345837014$$
$$x_{14} = 84.0405782019$$
$$x_{15} = -40.0615464074$$
$$x_{16} = -99.7480730446$$
$$x_{17} = 68.3332986887$$
$$x_{18} = -79.3283659192$$
$$x_{19} = -41.632107352$$
$$x_{20} = 32.2090858609$$
$$x_{21} = 52.6264272697$$
$$x_{22} = -55.7677523586$$
$$x_{23} = 27.4980262787$$
$$x_{24} = -54.1970859377$$
$$x_{25} = -46.343885886$$
$$x_{26} = 8.66818896199$$
$$x_{27} = -19.6476754907$$
$$x_{28} = 69.904012814$$
$$x_{29} = 98.1773168157$$
$$x_{30} = -1.01437891906$$
$$x_{31} = -93.4650562152$$
$$x_{32} = 77.7576332505$$
$$x_{33} = -71.4747305518$$
$$x_{34} = 41.632107352$$
$$x_{35} = -3.98933285621$$
$$x_{36} = -69.904012814$$
$$x_{37} = 0$$
$$x_{38} = 99.7480730446$$
$$x_{39} = 85.6113199517$$
$$x_{40} = -27.4980262787$$
$$x_{41} = -60.4797920995$$
$$x_{42} = -16.5085005167$$
$$x_{43} = -33.7795214194$$
$$x_{44} = 40.0615464074$$
$$x_{45} = -90.3235565897$$
$$x_{46} = 10.2345837014$$
$$x_{47} = -2.45659021972$$
$$x_{48} = 3.98933285621$$
$$x_{49} = 63.6211806633$$
$$x_{50} = -62.0504837987$$
$$x_{51} = 54.1970859377$$
$$x_{52} = 25.9277803646$$
$$x_{53} = -24.3576053588$$
$$x_{54} = -85.6113199517$$
$$x_{55} = -68.3332986887$$
$$x_{56} = 55.7677523586$$
$$x_{57} = -98.1773168157$$
$$x_{58} = -77.7576332505$$
$$x_{59} = -82.4698385309$$
$$x_{60} = -84.0405782019$$
$$x_{61} = 38.4910046652$$
$$x_{62} = 96.6065618907$$
$$x_{63} = -91.8943056074$$
$$x_{64} = -49.4851361442$$
$$x_{65} = 74.6161759525$$
$$x_{66} = 5.54276920325$$
$$x_{67} = -76.1869032063$$
$$x_{68} = -38.4910046652$$
$$x_{69} = 91.8943056074$$
$$x_{70} = -32.2090858609$$
$$x_{71} = 71.4747305518$$
$$x_{72} = 7.1037183626$$
$$x_{73} = -35.3499890193$$
$$x_{74} = 11.8021423865$$
$$x_{75} = 16.5085005167$$
$$x_{76} = 2.45659021972$$
$$x_{77} = 90.3235565897$$
$$x_{78} = 47.9145054045$$
$$x_{79} = 88.7528092464$$
$$x_{80} = -5.54276920325$$
$$x_{81} = 66.7625884309$$
$$x_{82} = 62.0504837987$$
$$x_{83} = -18.0779832098$$
$$x_{84} = 18.0779832098$$
$$x_{85} = -63.6211806633$$
$$x_{86} = -13.3704580074$$
$$x_{87} = 24.3576053588$$
Зн. экстремумы в точках:

(60.4797920995, 60.4777253994195)

(76.1869032063, 76.185262557382)

(-11.8021423865, -11.7915653248167)

(-47.9145054045, 47.9118968042328)

(30.6386872668, -30.6346082722383)

(33.7795214194, -33.7758215604863)

(46.343885886, -46.3411888940296)

(-25.9277803646, 25.9229606251007)

(49.4851361442, -49.4826103265594)

(82.4698385309, 82.4683228670218)

(19.6476754907, 19.6413165034459)

(-57.3384258953, 57.3362459807442)

(-10.2345837014, 10.2223920291261)

(84.0405782019, -84.0390908646392)

(-40.0615464074, -40.0584265728296)

(-99.7480730446, -99.7468199111401)

(68.3332986887, -68.3314694929585)

(-79.3283659192, 79.3267902372738)

(-41.632107352, 41.6291051864766)

(32.2090858609, 32.2052056696877)

(52.6264272697, -52.6240521979841)

(-55.7677523586, -55.76551105496)

(27.4980262787, -27.4934816248488)

(-54.1970859377, 54.1947796878447)

(-46.343885886, -46.3411888940296)

(8.66818896199, -8.65380430392926)

(-19.6476754907, 19.6413165034459)

(69.904012814, 69.9022247162962)

(98.1773168157, 98.1760436339539)

(-1.01437891906, 0.909852870579827)

(-93.4650562152, -93.4637188457076)

(77.7576332505, -77.7560257411026)

(-71.4747305518, -71.4729817461307)

(41.632107352, 41.6291051864766)

(-3.98933285621, 3.95836368579389)

(-69.904012814, 69.9022247162962)

(0, 0)

(99.7480730446, -99.7468199111401)

(85.6113199517, 85.6098599017601)

(-27.4980262787, -27.4934816248488)

(-60.4797920995, 60.4777253994195)

(-16.5085005167, 16.5009338654227)

(-33.7795214194, -33.7758215604863)

(40.0615464074, -40.0584265728296)

(-90.3235565897, -90.3221727078584)

(10.2345837014, 10.2223920291261)

(-2.45659021972, -2.40723494485613)

(3.98933285621, 3.95836368579389)

(63.6211806633, 63.6192159997885)

(-62.0504837987, -62.0484694080218)

(54.1970859377, 54.1947796878447)

(25.9277803646, 25.9229606251007)

(-24.3576053588, -24.352475112684)

(-85.6113199517, 85.6098599017601)

(-68.3332986887, -68.3314694929585)

(55.7677523586, -55.76551105496)

(-98.1773168157, 98.1760436339539)

(-77.7576332505, -77.7560257411026)

(-82.4698385309, 82.4683228670218)

(-84.0405782019, -84.0390908646392)

(38.4910046652, 38.4877575641319)

(96.6065618907, -96.6052680087403)

(-91.8943056074, 91.8929453792449)

(-49.4851361442, -49.4826103265594)

(74.6161759525, -74.6145007689905)

(5.54276920325, -5.520354007965)

(-76.1869032063, 76.185262557382)

(-38.4910046652, 38.4877575641319)

(91.8943056074, 91.8929453792449)

(-32.2090858609, 32.2052056696877)

(71.4747305518, -71.4729817461307)

(7.1037183626, 7.08618705688714)

(-35.3499890193, 35.3464534807966)

(11.8021423865, -11.7915653248167)

(16.5085005167, 16.5009338654227)

(2.45659021972, -2.40723494485613)

(90.3235565897, -90.3221727078584)

(47.9145054045, 47.9118968042328)

(88.7528092464, 88.7514008737596)

(-5.54276920325, -5.520354007965)

(66.7625884309, 66.7607162036095)

(62.0504837987, -62.0484694080218)

(-18.0779832098, -18.071072686121)

(18.0779832098, -18.071072686121)

(-63.6211806633, 63.6192159997885)

(-13.3704580074, 13.3611188323487)

(24.3576053588, -24.352475112684)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{87} = -11.8021423865$$
$$x_{87} = 30.6386872668$$
$$x_{87} = 33.7795214194$$
$$x_{87} = 46.343885886$$
$$x_{87} = 49.4851361442$$
$$x_{87} = 84.0405782019$$
$$x_{87} = -40.0615464074$$
$$x_{87} = -99.7480730446$$
$$x_{87} = 68.3332986887$$
$$x_{87} = 52.6264272697$$
$$x_{87} = -55.7677523586$$
$$x_{87} = 27.4980262787$$
$$x_{87} = -46.343885886$$
$$x_{87} = 8.66818896199$$
$$x_{87} = -93.4650562152$$
$$x_{87} = 77.7576332505$$
$$x_{87} = -71.4747305518$$
$$x_{87} = 0$$
$$x_{87} = 99.7480730446$$
$$x_{87} = -27.4980262787$$
$$x_{87} = -33.7795214194$$
$$x_{87} = 40.0615464074$$
$$x_{87} = -90.3235565897$$
$$x_{87} = -2.45659021972$$
$$x_{87} = -62.0504837987$$
$$x_{87} = -24.3576053588$$
$$x_{87} = -68.3332986887$$
$$x_{87} = 55.7677523586$$
$$x_{87} = -77.7576332505$$
$$x_{87} = -84.0405782019$$
$$x_{87} = 96.6065618907$$
$$x_{87} = -49.4851361442$$
$$x_{87} = 74.6161759525$$
$$x_{87} = 5.54276920325$$
$$x_{87} = 71.4747305518$$
$$x_{87} = 11.8021423865$$
$$x_{87} = 2.45659021972$$
$$x_{87} = 90.3235565897$$
$$x_{87} = -5.54276920325$$
$$x_{87} = 62.0504837987$$
$$x_{87} = -18.0779832098$$
$$x_{87} = 18.0779832098$$
$$x_{87} = 24.3576053588$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{87} = 60.4797920995$$
$$x_{87} = 76.1869032063$$
$$x_{87} = -47.9145054045$$
$$x_{87} = -25.9277803646$$
$$x_{87} = 82.4698385309$$
$$x_{87} = 19.6476754907$$
$$x_{87} = -57.3384258953$$
$$x_{87} = -10.2345837014$$
$$x_{87} = -79.3283659192$$
$$x_{87} = -41.632107352$$
$$x_{87} = 32.2090858609$$
$$x_{87} = -54.1970859377$$
$$x_{87} = -19.6476754907$$
$$x_{87} = 69.904012814$$
$$x_{87} = 98.1773168157$$
$$x_{87} = -1.01437891906$$
$$x_{87} = 41.632107352$$
$$x_{87} = -3.98933285621$$
$$x_{87} = -69.904012814$$
$$x_{87} = 85.6113199517$$
$$x_{87} = -60.4797920995$$
$$x_{87} = -16.5085005167$$
$$x_{87} = 10.2345837014$$
$$x_{87} = 3.98933285621$$
$$x_{87} = 63.6211806633$$
$$x_{87} = 54.1970859377$$
$$x_{87} = 25.9277803646$$
$$x_{87} = -85.6113199517$$
$$x_{87} = -98.1773168157$$
$$x_{87} = -82.4698385309$$
$$x_{87} = 38.4910046652$$
$$x_{87} = -91.8943056074$$
$$x_{87} = -76.1869032063$$
$$x_{87} = -38.4910046652$$
$$x_{87} = 91.8943056074$$
$$x_{87} = -32.2090858609$$
$$x_{87} = 7.1037183626$$
$$x_{87} = -35.3499890193$$
$$x_{87} = 16.5085005167$$
$$x_{87} = 47.9145054045$$
$$x_{87} = 88.7528092464$$
$$x_{87} = 66.7625884309$$
$$x_{87} = -63.6211806633$$
$$x_{87} = -13.3704580074$$
Убывает на промежутках

[99.7480730446, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -99.7480730446]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(- x \sin{\left (2 x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -17.3076165276$$
$$x_{2} = -7.91680570747$$
$$x_{3} = 64.4104114951$$
$$x_{4} = -67.551643256$$
$$x_{5} = 22.0138459496$$
$$x_{6} = -29.8618677162$$
$$x_{7} = 67.551643256$$
$$x_{8} = 34.5719777382$$
$$x_{9} = 89.5409744309$$
$$x_{10} = -1.82179858371$$
$$x_{11} = -61.2692167254$$
$$x_{12} = -45.5640652756$$
$$x_{13} = -36.1421462518$$
$$x_{14} = 58.12806494$$
$$x_{15} = 56.5575074029$$
$$x_{16} = 43.9936604673$$
$$x_{17} = -94.2530842748$$
$$x_{18} = -23.5831338014$$
$$x_{19} = 9.47734088326$$
$$x_{20} = 7.91680570747$$
$$x_{21} = -59.6986350359$$
$$x_{22} = 81.6875295729$$
$$x_{23} = -14.1723884349$$
$$x_{24} = 6.36114938588$$
$$x_{25} = -22.0138459496$$
$$x_{26} = 12.6059515321$$
$$x_{27} = -9.47734088326$$
$$x_{28} = -97.3945058407$$
$$x_{29} = -65.9810230817$$
$$x_{30} = -95.8237936558$$
$$x_{31} = -72.2635497086$$
$$x_{32} = -6.36114938588$$
$$x_{33} = -83.2582104451$$
$$x_{34} = -37.7123669873$$
$$x_{35} = -58.12806494$$
$$x_{36} = -102.106657925$$
$$x_{37} = 23.5831338014$$
$$x_{38} = 37.7123669873$$
$$x_{39} = 14.1723884349$$
$$x_{40} = -53.4164344329$$
$$x_{41} = 94.2530842748$$
$$x_{42} = 36.1421462518$$
$$x_{43} = 100.535938097$$
$$x_{44} = 26.7222398349$$
$$x_{45} = 92.6823778404$$
$$x_{46} = 70.6929070794$$
$$x_{47} = 28.2919993689$$
$$x_{48} = 48.7049505853$$
$$x_{49} = 78.5461816777$$
$$x_{50} = -39.2826336923$$
$$x_{51} = 20.444788883$$
$$x_{52} = -42.4232846217$$
$$x_{53} = -15.7396874602$$
$$x_{54} = 73.834198875$$
$$x_{55} = -80.1168532266$$
$$x_{56} = 3.28916686636$$
$$x_{57} = 95.8237936558$$
$$x_{58} = -31.4318286144$$
$$x_{59} = 59.6986350359$$
$$x_{60} = -50.2754263627$$
$$x_{61} = 0.538436993156$$
$$x_{62} = -73.834198875$$
$$x_{63} = -64.4104114951$$
$$x_{64} = -86.3995847802$$
$$x_{65} = 87.9702777936$$
$$x_{66} = 51.8459215487$$
$$x_{67} = 80.1168532266$$
$$x_{68} = 86.3995847802$$
$$x_{69} = 72.2635497086$$
$$x_{70} = -87.9702777936$$
$$x_{71} = -51.8459215487$$
$$x_{72} = -3.28916686636$$
$$x_{73} = -81.6875295729$$
$$x_{74} = 42.4232846217$$
$$x_{75} = 65.9810230817$$
$$x_{76} = -75.4048541703$$
$$x_{77} = 1.82179858371$$
$$x_{78} = 50.2754263627$$
$$x_{79} = 15.7396874602$$
$$x_{80} = -28.2919993689$$
$$x_{81} = -89.5409744309$$
$$x_{82} = -20.444788883$$
$$x_{83} = -43.9936604673$$
$$x_{84} = 29.8618677162$$
$$x_{85} = 45.5640652756$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[95.8237936558, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -97.3945058407]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left (2 x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left (2 x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (2 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (2 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sin{\left (2 x \right )} = x \sin{\left (2 x \right )}$$
- Да
$$x \sin{\left (2 x \right )} = - x \sin{\left (2 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной