График функции y = x*sin(1/x)

Вы ввели

            /  1\
f(x) = x*sin|1*-|
            \  x/

$$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.318309886183791$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sin(1/x).
$$0 \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -30448.418348057$$
$$x_{2} = 12780.3528304711$$
$$x_{3} = -19429.7234310854$$
$$x_{4} = 33970.0390649632$$
$$x_{5} = 10237.7072403896$$
$$x_{6} = 32274.8438867786$$
$$x_{7} = -10106.4851636254$$
$$x_{8} = -40619.5984700161$$
$$x_{9} = 22103.7156394291$$
$$x_{10} = 42446.0308837659$$
$$x_{11} = -21972.4849235058$$
$$x_{12} = -11801.5713963528$$
$$x_{13} = 31427.2468354985$$
$$x_{14} = -16039.4000376645$$
$$x_{15} = 16170.6287133314$$
$$x_{16} = 27189.2682985119$$
$$x_{17} = -33838.8069987955$$
$$x_{18} = 39055.6315237518$$
$$x_{19} = -17734.5572628217$$
$$x_{20} = 14475.4825115465$$
$$x_{21} = -25362.8495556371$$
$$x_{22} = 36512.8341467568$$
$$x_{23} = 6847.70624844332$$
$$x_{24} = -14344.2549267547$$
$$x_{25} = -26210.4428283739$$
$$x_{26} = 8542.66546353133$$
$$x_{27} = -18582.1393820539$$
$$x_{28} = -39771.9987451226$$
$$x_{29} = -24515.2570410387$$
$$x_{30} = -41467.1983793308$$
$$x_{31} = 33122.4413057753$$
$$x_{32} = 38208.0321713516$$
$$x_{33} = 24646.4882156886$$
$$x_{34} = 7695.1721243119$$
$$x_{35} = -22820.0746241929$$
$$x_{36} = 20408.539477891$$
$$x_{37} = -27905.6313719175$$
$$x_{38} = 37360.4330405425$$
$$x_{39} = 35665.2355068933$$
$$x_{40} = -20277.3091678955$$
$$x_{41} = -32991.2092909147$$
$$x_{42} = -23667.6653660369$$
$$x_{43} = 9390.17882712825$$
$$x_{44} = -42314.798461984$$
$$x_{45} = 40750.8308380171$$
$$x_{46} = -21124.8963893094$$
$$x_{47} = -13496.6883408414$$
$$x_{48} = -31296.0149360127$$
$$x_{49} = 15323.0538900739$$
$$x_{50} = 11085.2472504735$$
$$x_{51} = -9258.95883733077$$
$$x_{52} = -37229.2008029351$$
$$x_{53} = 25494.0808534902$$
$$x_{54} = -29600.822198113$$
$$x_{55} = 17018.2064665824$$
$$x_{56} = -16886.9773640064$$
$$x_{57} = -8411.44821783076$$
$$x_{58} = 23798.8964040481$$
$$x_{59} = 18713.369170442$$
$$x_{60} = -10954.0235496446$$
$$x_{61} = 28884.4582116784$$
$$x_{62} = 11932.7963857739$$
$$x_{63} = 29732.0539618849$$
$$x_{64} = 19560.9534972764$$
$$x_{65} = -27058.0367879985$$
$$x_{66} = 13627.9152205591$$
$$x_{67} = 17865.7867327802$$
$$x_{68} = -6716.49789803616$$
$$x_{69} = -28753.2265249185$$
$$x_{70} = -38924.3992166982$$
$$x_{71} = 41598.4307750453$$
$$x_{72} = -38076.7998978638$$
$$x_{73} = 26341.6742377005$$
$$x_{74} = -12649.1268015143$$
$$x_{75} = 21256.1269144408$$
$$x_{76} = 34817.6371394969$$
$$x_{77} = -7563.95858775919$$
$$x_{78} = -35534.0033488874$$
$$x_{79} = 28036.8629745587$$
$$x_{80} = 30579.6501825125$$
$$x_{81} = -15191.825714434$$
$$x_{82} = -34686.4050257305$$
$$x_{83} = -32143.6119273287$$
$$x_{84} = -36381.6019475619$$
$$x_{85} = 39903.2310836223$$
$$x_{86} = 22951.3055101033$$
Зн. экстремумы в точках:

(-30448.418348057, 0.999999999820229)

(12780.3528304711, 0.999999998979617)

(-19429.7234310854, 0.999999999558516)

(33970.0390649632, 0.99999999985557)

(10237.7072403896, 0.999999998409831)

(32274.8438867786, 0.99999999984)

(-10106.4851636254, 0.999999998368269)

(-40619.5984700161, 0.999999999898987)

(22103.7156394291, 0.999999999658871)

(42446.0308837659, 0.999999999907493)

(-21972.4849235058, 0.999999999654784)

(-11801.5713963528, 0.999999998803345)

(31427.2468354985, 0.999999999831253)

(-16039.4000376645, 0.999999999352153)

(16170.6287133314, 0.999999999362625)

(27189.2682985119, 0.999999999774548)

(-33838.8069987955, 0.999999999854448)

(39055.6315237518, 0.999999999890735)

(-17734.5572628217, 0.999999999470083)

(14475.4825115465, 0.999999999204605)

(-25362.8495556371, 0.999999999740909)

(36512.8341467568, 0.999999999874986)

(6847.70624844332, 0.999999996445664)

(-14344.2549267547, 0.999999999189985)

(-26210.4428283739, 0.999999999757395)

(8542.66546353133, 0.999999997716179)

(-18582.1393820539, 0.999999999517322)

(-39771.9987451226, 0.999999999894636)

(-24515.2570410387, 0.999999999722683)

(-41467.1983793308, 0.999999999903074)

(33122.4413057753, 0.999999999848084)

(38208.0321713516, 0.999999999885833)

(24646.4882156886, 0.999999999725629)

(7695.1721243119, 0.99999999718543)

(-22820.0746241929, 0.999999999679952)

(20408.539477891, 0.999999999599848)

(-27905.6313719175, 0.999999999785975)

(37360.4330405425, 0.999999999880594)

(35665.2355068933, 0.999999999868974)

(-20277.3091678955, 0.999999999594652)

(-32991.2092909147, 0.999999999846873)

(-23667.6653660369, 0.999999999702465)

(9390.17882712825, 0.999999998109829)

(-42314.798461984, 0.999999999906918)

(40750.8308380171, 0.999999999899637)

(-21124.8963893094, 0.999999999626527)

(-13496.6883408414, 0.999999999085056)

(-31296.0149360127, 0.999999999829835)

(15323.0538900739, 0.999999999290164)

(11085.2472504735, 0.999999998643693)

(-9258.95883733077, 0.999999998055874)

(-37229.2008029351, 0.999999999879751)

(25494.0808534902, 0.999999999743569)

(-29600.822198113, 0.999999999809787)

(17018.2064665824, 0.999999999424532)

(-16886.9773640064, 0.999999999415553)

(-8411.44821783076, 0.999999997644369)

(23798.8964040481, 0.999999999705737)

(18713.369170442, 0.999999999524068)

(-10954.0235496446, 0.999999998611003)

(28884.4582116784, 0.999999999800235)

(11932.7963857739, 0.999999998829519)

(29732.0539618849, 0.999999999811462)

(19560.9534972764, 0.999999999564419)

(-27058.0367879985, 0.999999999772356)

(13627.9152205591, 0.999999999102592)

(17865.7867327802, 0.999999999477839)

(-6716.49789803616, 0.999999996305438)

(-28753.2265249185, 0.999999999798407)

(-38924.3992166982, 0.999999999889997)

(41598.4307750453, 0.999999999903685)

(-38076.7998978638, 0.999999999885045)

(26341.6742377005, 0.999999999759806)

(-12649.1268015143, 0.999999998958336)

(21256.1269144408, 0.999999999631124)

(34817.6371394969, 0.999999999862517)

(-7563.95858775919, 0.999999997086933)

(-35534.0033488874, 0.999999999868004)

(28036.8629745587, 0.999999999787974)

(30579.6501825125, 0.999999999821769)

(-15191.825714434, 0.999999999277848)

(-34686.4050257305, 0.999999999861474)

(-32143.6119273287, 0.999999999838691)

(-36381.6019475619, 0.999999999874083)

(39903.2310836223, 0.999999999895328)

(22951.3055101033, 0.999999999683602)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -33838.8069987955$$
$$x_{2} = -14344.2549267547$$
$$x_{3} = 8542.66546353133$$
$$x_{4} = 38208.0321713516$$
$$x_{5} = -22820.0746241929$$
$$x_{6} = -13496.6883408414$$
$$x_{7} = -9258.95883733077$$
$$x_{8} = -37229.2008029351$$
$$x_{9} = -10954.0235496446$$
$$x_{10} = 11932.7963857739$$
$$x_{11} = -28753.2265249185$$
$$x_{12} = 34817.6371394969$$
$$x_{13} = -7563.95858775919$$
$$x_{14} = -34686.4050257305$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{14} = 42446.0308837659$$
$$x_{14} = 6847.70624844332$$
$$x_{14} = -39771.9987451226$$
$$x_{14} = -23667.6653660369$$
$$x_{14} = 40750.8308380171$$
$$x_{14} = -21124.8963893094$$
$$x_{14} = -29600.822198113$$
$$x_{14} = 17018.2064665824$$
$$x_{14} = 41598.4307750453$$
$$x_{14} = 28036.8629745587$$
Убывает на промежутках
$$\left[38208.0321713516, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -37229.2008029351\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{\pi}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{1}{\pi}, \infty\right)$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
$$x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = - x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График