Графики функций/ Построение в 2D/ y = x*sin(x)/2

График функции y = x*sin(x)/2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       x*sin(x)
f(x) = --------
          2
f(x)=x2sin⁡(x)f{\left (x \right )} = \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}
График функции
01002003004005006007008009001000-10001000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2sin⁡(x)=0\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Численное решение
x1=−94.2477796077x_{1} = -94.2477796077
x2=31.4159265359x_{2} = 31.4159265359
x3=81.6814089933x_{3} = 81.6814089933
x4=84.8230016469x_{4} = 84.8230016469
x5=−21.9911485751x_{5} = -21.9911485751
x6=−53.407075111x_{6} = -53.407075111
x7=4.42781033586⋅10−7x_{7} = 4.42781033586 \cdot 10^{-7}
x8=65.9734457254x_{8} = 65.9734457254
x9=3.14159265359x_{9} = 3.14159265359
x10=15.7079632679x_{10} = 15.7079632679
x11=100.530964915x_{11} = 100.530964915
x12=50.2654824574x_{12} = 50.2654824574
x13=−3.14159265359x_{13} = -3.14159265359
x14=40.8407044967x_{14} = 40.8407044967
x15=−59.6902604182x_{15} = -59.6902604182
x16=97.3893722613x_{16} = 97.3893722613
x17=78.5398163397x_{17} = 78.5398163397
x18=−25.1327412287x_{18} = -25.1327412287
x19=−43.9822971503x_{19} = -43.9822971503
x20=25.1327412287x_{20} = 25.1327412287
x21=−81.6814089933x_{21} = -81.6814089933
x22=−91.1061869541x_{22} = -91.1061869541
x23=87.9645943005x_{23} = 87.9645943005
x24=69.115038379x_{24} = 69.115038379
x25=−34.5575191895x_{25} = -34.5575191895
x26=28.2743338823x_{26} = 28.2743338823
x27=−31.4159265359x_{27} = -31.4159265359
x28=37.6991118431x_{28} = 37.6991118431
x29=−28.2743338823x_{29} = -28.2743338823
x30=72.2566310326x_{30} = 72.2566310326
x31=56.5486677646x_{31} = 56.5486677646
x32=−75.3982236862x_{32} = -75.3982236862
x33=−69.115038379x_{33} = -69.115038379
x34=−6.28318530718x_{34} = -6.28318530718
x35=−9.42477796077x_{35} = -9.42477796077
x36=6.28318530718x_{36} = 6.28318530718
x37=75.3982236862x_{37} = 75.3982236862
x38=−65.9734457254x_{38} = -65.9734457254
x39=−87.9645943005x_{39} = -87.9645943005
x40=−72.2566310326x_{40} = -72.2566310326
x41=18.8495559215x_{41} = 18.8495559215
x42=−84.8230016469x_{42} = -84.8230016469
x43=9.42477796077x_{43} = 9.42477796077
x44=−50.2654824574x_{44} = -50.2654824574
x45=4.34043401471⋅10−7x_{45} = 4.34043401471 \cdot 10^{-7}
x46=−56.5486677646x_{46} = -56.5486677646
x47=−1.2439143413⋅10−6x_{47} = -1.2439143413 \cdot 10^{-6}
x48=1.56448242526⋅10−7x_{48} = 1.56448242526 \cdot 10^{-7}
x49=91.1061869541x_{49} = 91.1061869541
x50=59.6902604182x_{50} = 59.6902604182
x51=−47.1238898038x_{51} = -47.1238898038
x52=12.5663706144x_{52} = 12.5663706144
x53=−62.8318530718x_{53} = -62.8318530718
x54=62.8318530718x_{54} = 62.8318530718
x55=−18.8495559215x_{55} = -18.8495559215
x56=−12.5663706144x_{56} = -12.5663706144
x57=−37.6991118431x_{57} = -37.6991118431
x58=−97.3893722613x_{58} = -97.3893722613
x59=94.2477796077x_{59} = 94.2477796077
x60=34.5575191895x_{60} = 34.5575191895
x61=697.433569097x_{61} = 697.433569097
x62=21.9911485751x_{62} = 21.9911485751
x63=−100.530964915x_{63} = -100.530964915
x64=53.407075111x_{64} = 53.407075111
x65=−78.5398163397x_{65} = -78.5398163397
x66=0x_{66} = 0
x67=43.9822971503x_{67} = 43.9822971503
x68=−40.8407044967x_{68} = -40.8407044967
x69=−15.7079632679x_{69} = -15.7079632679
x70=47.1238898038x_{70} = 47.1238898038
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x*sin(x))/2.
021\frac{0}{2} 1
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x2cos⁡(x)+12sin⁡(x)=0\frac{x}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=36.1559664195x_{1} = 36.1559664195
x2=102.11155414x_{2} = 102.11155414
x3=−86.4053708117x_{3} = -86.4053708117
x4=29.8785865061x_{4} = 29.8785865061
x5=4.91318043943x_{5} = 4.91318043943
x6=−51.8555607292x_{6} = -51.8555607292
x7=−33.0170010334x_{7} = -33.0170010334
x8=−39.2953509815x_{8} = -39.2953509815
x9=−29.8785865061x_{9} = -29.8785865061
x10=51.8555607292x_{10} = 51.8555607292
x11=−45.5750317956x_{11} = -45.5750317956
x12=−17.336377924x_{12} = -17.336377924
x13=11.0855384065x_{13} = 11.0855384065
x14=−98.9702722884x_{14} = -98.9702722884
x15=45.5750317956x_{15} = 45.5750317956
x16=−11.0855384065x_{16} = -11.0855384065
x17=23.604284773x_{17} = 23.604284773
x18=−64.4181717218x_{18} = -64.4181717218
x19=−80.1230928149x_{19} = -80.1230928149
x20=−48.7152107176x_{20} = -48.7152107176
x21=42.4350618814x_{21} = 42.4350618814
x22=−14.2074367252x_{22} = -14.2074367252
x23=83.2642147041x_{23} = 83.2642147041
x24=80.1230928149x_{24} = 80.1230928149
x25=17.336377924x_{25} = 17.336377924
x26=14.2074367252x_{26} = 14.2074367252
x27=26.7409160148x_{27} = 26.7409160148
x28=−23.604284773x_{28} = -23.604284773
x29=−92.687771772x_{29} = -92.687771772
x30=−76.9820093304x_{30} = -76.9820093304
x31=61.2773745336x_{31} = 61.2773745336
x32=58.1366632449x_{32} = 58.1366632449
x33=−4.91318043943x_{33} = -4.91318043943
x34=64.4181717218x_{34} = 64.4181717218
x35=76.9820093304x_{35} = 76.9820093304
x36=33.0170010334x_{36} = 33.0170010334
x37=−7.97866571241x_{37} = -7.97866571241
x38=−2.02875783811x_{38} = -2.02875783811
x39=−83.2642147041x_{39} = -83.2642147041
x40=−73.840969149x_{40} = -73.840969149
x41=92.687771772x_{41} = 92.687771772
x42=67.5590428388x_{42} = 67.5590428388
x43=−58.1366632449x_{43} = -58.1366632449
x44=54.9960525575x_{44} = 54.9960525575
x45=89.5465575382x_{45} = 89.5465575382
x46=−26.7409160148x_{46} = -26.7409160148
x47=−95.829010809x_{47} = -95.829010809
x48=−36.1559664195x_{48} = -36.1559664195
x49=39.2953509815x_{49} = 39.2953509815
x50=70.6999780386x_{50} = 70.6999780386
x51=98.9702722884x_{51} = 98.9702722884
x52=20.4691674027x_{52} = 20.4691674027
x53=−20.4691674027x_{53} = -20.4691674027
x54=2.02875783811x_{54} = 2.02875783811
x55=73.840969149x_{55} = 73.840969149
x56=95.829010809x_{56} = 95.829010809
x57=−61.2773745336x_{57} = -61.2773745336
x58=−54.9960525575x_{58} = -54.9960525575
x59=−42.4350618814x_{59} = -42.4350618814
x60=0x_{60} = 0
x61=−89.5465575382x_{61} = -89.5465575382
x62=48.7152107176x_{62} = 48.7152107176
x63=86.4053708117x_{63} = 86.4053708117
x64=7.97866571241x_{64} = 7.97866571241
x65=−70.6999780386x_{65} = -70.6999780386
x66=−67.5590428388x_{66} = -67.5590428388
Зн. экстремумы в точках:
(36.1559664195, -18.071072686121)

(102.11155414, 51.0533289431582)

(-86.4053708117, -43.1997923578054)

(29.8785865061, -14.9309330795934)

(4.91318043943, -2.40723494485613)

(-51.8555607292, 25.9229606251007)

(-33.0170010334, 16.5009338654227)

(-39.2953509815, 19.6413165034459)

(-29.8785865061, -14.9309330795934)

(51.8555607292, 25.9229606251007)

(-45.5750317956, 22.7820324180134)

(-17.336377924, -8.65380430392926)

(11.0855384065, -5.520354007965)

(-98.9702722884, -49.4826103265594)

(45.5750317956, 22.7820324180134)

(-11.0855384065, -5.520354007965)

(23.604284773, -11.7915653248167)

(-64.4181717218, 32.2052056696877)

(-80.1230928149, -40.0584265728296)

(-48.7152107176, -24.352475112684)

(42.4350618814, -21.2116420386295)

(-14.2074367252, 7.08618705688714)

(83.2642147041, 41.6291051864766)

(80.1230928149, -40.0584265728296)

(17.336377924, -8.65380430392926)

(14.2074367252, 7.08618705688714)

(26.7409160148, 13.3611188323487)

(-23.604284773, -11.7915653248167)

(-92.687771772, -46.3411888940296)

(-76.9820093304, 38.4877575641319)

(61.2773745336, -30.6346082722383)

(58.1366632449, 29.0640323640429)

(-4.91318043943, -2.40723494485613)

(64.4181717218, 32.2052056696877)

(76.9820093304, 38.4877575641319)

(33.0170010334, 16.5009338654227)

(-7.97866571241, 3.95836368579389)

(-2.02875783811, 0.909852870579826)

(-83.2642147041, 41.6291051864766)

(-73.840969149, -36.9170993857708)

(92.687771772, -46.3411888940296)

(67.5590428388, -33.7758215604863)

(-58.1366632449, 29.0640323640429)

(54.9960525575, -27.4934816248488)

(89.5465575382, 44.7704871864426)

(-26.7409160148, 13.3611188323487)

(-95.829010809, 47.9118968042328)

(-36.1559664195, -18.071072686121)

(39.2953509815, 19.6413165034459)

(70.6999780386, 35.3464534807966)

(98.9702722884, -49.4826103265594)

(20.4691674027, 10.2223920291261)

(-20.4691674027, 10.2223920291261)

(2.02875783811, 0.909852870579826)

(73.840969149, -36.9170993857708)

(95.829010809, 47.9118968042328)

(-61.2773745336, -30.6346082722383)

(-54.9960525575, -27.4934816248488)

(-42.4350618814, -21.2116420386295)

(0, 0)

(-89.5465575382, 44.7704871864426)

(48.7152107176, -24.352475112684)

(86.4053708117, -43.1997923578054)

(7.97866571241, 3.95836368579389)

(-70.6999780386, 35.3464534807966)

(-67.5590428388, -33.7758215604863)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x66=36.1559664195x_{66} = 36.1559664195
x66=−86.4053708117x_{66} = -86.4053708117
x66=29.8785865061x_{66} = 29.8785865061
x66=4.91318043943x_{66} = 4.91318043943
x66=−29.8785865061x_{66} = -29.8785865061
x66=−17.336377924x_{66} = -17.336377924
x66=11.0855384065x_{66} = 11.0855384065
x66=−98.9702722884x_{66} = -98.9702722884
x66=−11.0855384065x_{66} = -11.0855384065
x66=23.604284773x_{66} = 23.604284773
x66=−80.1230928149x_{66} = -80.1230928149
x66=−48.7152107176x_{66} = -48.7152107176
x66=42.4350618814x_{66} = 42.4350618814
x66=80.1230928149x_{66} = 80.1230928149
x66=17.336377924x_{66} = 17.336377924
x66=−23.604284773x_{66} = -23.604284773
x66=−92.687771772x_{66} = -92.687771772
x66=61.2773745336x_{66} = 61.2773745336
x66=−4.91318043943x_{66} = -4.91318043943
x66=−73.840969149x_{66} = -73.840969149
x66=92.687771772x_{66} = 92.687771772
x66=67.5590428388x_{66} = 67.5590428388
x66=54.9960525575x_{66} = 54.9960525575
x66=−36.1559664195x_{66} = -36.1559664195
x66=98.9702722884x_{66} = 98.9702722884
x66=73.840969149x_{66} = 73.840969149
x66=−61.2773745336x_{66} = -61.2773745336
x66=−54.9960525575x_{66} = -54.9960525575
x66=−42.4350618814x_{66} = -42.4350618814
x66=0x_{66} = 0
x66=48.7152107176x_{66} = 48.7152107176
x66=86.4053708117x_{66} = 86.4053708117
x66=−67.5590428388x_{66} = -67.5590428388
Максимумы функции в точках:
x66=102.11155414x_{66} = 102.11155414
x66=−51.8555607292x_{66} = -51.8555607292
x66=−33.0170010334x_{66} = -33.0170010334
x66=−39.2953509815x_{66} = -39.2953509815
x66=51.8555607292x_{66} = 51.8555607292
x66=−45.5750317956x_{66} = -45.5750317956
x66=45.5750317956x_{66} = 45.5750317956
x66=−64.4181717218x_{66} = -64.4181717218
x66=−14.2074367252x_{66} = -14.2074367252
x66=83.2642147041x_{66} = 83.2642147041
x66=14.2074367252x_{66} = 14.2074367252
x66=26.7409160148x_{66} = 26.7409160148
x66=−76.9820093304x_{66} = -76.9820093304
x66=58.1366632449x_{66} = 58.1366632449
x66=64.4181717218x_{66} = 64.4181717218
x66=76.9820093304x_{66} = 76.9820093304
x66=33.0170010334x_{66} = 33.0170010334
x66=−7.97866571241x_{66} = -7.97866571241
x66=−2.02875783811x_{66} = -2.02875783811
x66=−83.2642147041x_{66} = -83.2642147041
x66=−58.1366632449x_{66} = -58.1366632449
x66=89.5465575382x_{66} = 89.5465575382
x66=−26.7409160148x_{66} = -26.7409160148
x66=−95.829010809x_{66} = -95.829010809
x66=39.2953509815x_{66} = 39.2953509815
x66=70.6999780386x_{66} = 70.6999780386
x66=20.4691674027x_{66} = 20.4691674027
x66=−20.4691674027x_{66} = -20.4691674027
x66=2.02875783811x_{66} = 2.02875783811
x66=95.829010809x_{66} = 95.829010809
x66=−89.5465575382x_{66} = -89.5465575382
x66=7.97866571241x_{66} = 7.97866571241
x66=−70.6999780386x_{66} = -70.6999780386
Убывает на промежутках
[98.9702722884, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -98.9702722884]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
−x2sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−97.4099011707x_{1} = -97.4099011707
x2=94.2689923093x_{2} = 94.2689923093
x3=−128.82082299x_{3} = -128.82082299
x4=3.64359716743x_{4} = 3.64359716743
x5=25.2119030642x_{5} = 25.2119030642
x6=−59.7237354324x_{6} = -59.7237354324
x7=−69.1439554765x_{7} = -69.1439554765
x8=72.2842925037x_{8} = 72.2842925037
x9=78.5652673846x_{9} = 78.5652673846
x10=34.6152330552x_{10} = 34.6152330552
x11=31.4793749203x_{11} = 31.4793749203
x12=−40.889577766x_{12} = -40.889577766
x13=−72.2842925037x_{13} = -72.2842925037
x14=−31.4793749203x_{14} = -31.4793749203
x15=53.4444796698x_{15} = 53.4444796698
x16=−94.2689923093x_{16} = -94.2689923093
x17=84.8465692433x_{17} = 84.8465692433
x18=−44.0276918992x_{18} = -44.0276918992
x19=75.4247339745x_{19} = 75.4247339745
x20=−56.5839987379x_{20} = -56.5839987379
x21=−9.6295603433x_{21} = -9.6295603433
x22=37.7520396346x_{22} = 37.7520396346
x23=18.9546817665x_{23} = 18.9546817665
x24=−28.3447768698x_{24} = -28.3447768698
x25=−6.57833373272x_{25} = -6.57833373272
x26=−25.2119030642x_{26} = -25.2119030642
x27=−84.8465692433x_{27} = -84.8465692433
x28=1.07687398631x_{28} = 1.07687398631
x29=−100.550852725x_{29} = -100.550852725
x30=−62.8636572287x_{30} = -62.8636572287
x31=−66.0037377708x_{31} = -66.0037377708
x32=−37.7520396346x_{32} = -37.7520396346
x33=59.7237354324x_{33} = 59.7237354324
x34=−50.3052188363x_{34} = -50.3052188363
x35=50.3052188363x_{35} = 50.3052188363
x36=91.1281305511x_{36} = 91.1281305511
x37=15.8336114149x_{37} = 15.8336114149
x38=−34.6152330552x_{38} = -34.6152330552
x39=9.6295603433x_{39} = 9.6295603433
x40=−3.64359716743x_{40} = -3.64359716743
x41=−75.4247339745x_{41} = -75.4247339745
x42=−53.4444796698x_{42} = -53.4444796698
x43=12.7222987718x_{43} = 12.7222987718
x44=−87.9873209347x_{44} = -87.9873209347
x45=87.9873209347x_{45} = 87.9873209347
x46=69.1439554765x_{46} = 69.1439554765
x47=−22.0814757673x_{47} = -22.0814757673
x48=−1.07687398631x_{48} = -1.07687398631
x49=56.5839987379x_{49} = 56.5839987379
x50=6.57833373272x_{50} = 6.57833373272
x51=97.4099011707x_{51} = 97.4099011707
x52=81.705882148x_{52} = 81.705882148
x53=62.8636572287x_{53} = 62.8636572287
x54=−78.5652673846x_{54} = -78.5652673846
x55=28.3447768698x_{55} = 28.3447768698
x56=−47.1662676028x_{56} = -47.1662676028
x57=−15.8336114149x_{57} = -15.8336114149
x58=−91.1281305511x_{58} = -91.1281305511
x59=−18.9546817665x_{59} = -18.9546817665
x60=40.889577766x_{60} = 40.889577766
x61=100.550852725x_{61} = 100.550852725
x62=22.0814757673x_{62} = 22.0814757673
x63=66.0037377708x_{63} = 66.0037377708
x64=44.0276918992x_{64} = 44.0276918992
x65=47.1662676028x_{65} = 47.1662676028
x66=−12.7222987718x_{66} = -12.7222987718
x67=−81.705882148x_{67} = -81.705882148

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[97.4099011707, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -100.550852725]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(x2sin⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−∞,∞⟩y = \langle -\infty, \infty\rangle
lim⁡x→∞(x2sin⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−∞,∞⟩y = \langle -\infty, \infty\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x*sin(x))/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(12sin⁡(x))=⟨−12,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=⟨−12,12⟩xy = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle x
lim⁡x→∞(12sin⁡(x))=⟨−12,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=⟨−12,12⟩xy = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2sin⁡(x)=x2sin⁡(x)\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )} = \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}
- Да
x2sin⁡(x)=−x2sin⁡(x)\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )} = - \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}
- Нет
значит, функция
является
чётной