График функции y = x*sin(x)/2

Вы ввели

       x*sin(x)
f(x) = --------
          2    

$$f{\left (x \right )} = \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 31.4159265359$$
$$x_{3} = 81.6814089933$$
$$x_{4} = 84.8230016469$$
$$x_{5} = -21.9911485751$$
$$x_{6} = -53.407075111$$
$$x_{7} = 4.42781033586 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{8} = 65.9734457254$$
$$x_{9} = 3.14159265359$$
$$x_{10} = 15.7079632679$$
$$x_{11} = 100.530964915$$
$$x_{12} = 50.2654824574$$
$$x_{13} = -3.14159265359$$
$$x_{14} = 40.8407044967$$
$$x_{15} = -59.6902604182$$
$$x_{16} = 97.3893722613$$
$$x_{17} = 78.5398163397$$
$$x_{18} = -25.1327412287$$
$$x_{19} = -43.9822971503$$
$$x_{20} = 25.1327412287$$
$$x_{21} = -81.6814089933$$
$$x_{22} = -91.1061869541$$
$$x_{23} = 87.9645943005$$
$$x_{24} = 69.115038379$$
$$x_{25} = -34.5575191895$$
$$x_{26} = 28.2743338823$$
$$x_{27} = -31.4159265359$$
$$x_{28} = 37.6991118431$$
$$x_{29} = -28.2743338823$$
$$x_{30} = 72.2566310326$$
$$x_{31} = 56.5486677646$$
$$x_{32} = -75.3982236862$$
$$x_{33} = -69.115038379$$
$$x_{34} = -6.28318530718$$
$$x_{35} = -9.42477796077$$
$$x_{36} = 6.28318530718$$
$$x_{37} = 75.3982236862$$
$$x_{38} = -65.9734457254$$
$$x_{39} = -87.9645943005$$
$$x_{40} = -72.2566310326$$
$$x_{41} = 18.8495559215$$
$$x_{42} = -84.8230016469$$
$$x_{43} = 9.42477796077$$
$$x_{44} = -50.2654824574$$
$$x_{45} = 4.34043401471 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{46} = -56.5486677646$$
$$x_{47} = -1.2439143413 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{48} = 1.56448242526 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{49} = 91.1061869541$$
$$x_{50} = 59.6902604182$$
$$x_{51} = -47.1238898038$$
$$x_{52} = 12.5663706144$$
$$x_{53} = -62.8318530718$$
$$x_{54} = 62.8318530718$$
$$x_{55} = -18.8495559215$$
$$x_{56} = -12.5663706144$$
$$x_{57} = -37.6991118431$$
$$x_{58} = -97.3893722613$$
$$x_{59} = 94.2477796077$$
$$x_{60} = 34.5575191895$$
$$x_{61} = 697.433569097$$
$$x_{62} = 21.9911485751$$
$$x_{63} = -100.530964915$$
$$x_{64} = 53.407075111$$
$$x_{65} = -78.5398163397$$
$$x_{66} = 0$$
$$x_{67} = 43.9822971503$$
$$x_{68} = -40.8407044967$$
$$x_{69} = -15.7079632679$$
$$x_{70} = 47.1238898038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x*sin(x))/2.
$$\frac{0}{2} 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 36.1559664195$$
$$x_{2} = 102.11155414$$
$$x_{3} = -86.4053708117$$
$$x_{4} = 29.8785865061$$
$$x_{5} = 4.91318043943$$
$$x_{6} = -51.8555607292$$
$$x_{7} = -33.0170010334$$
$$x_{8} = -39.2953509815$$
$$x_{9} = -29.8785865061$$
$$x_{10} = 51.8555607292$$
$$x_{11} = -45.5750317956$$
$$x_{12} = -17.336377924$$
$$x_{13} = 11.0855384065$$
$$x_{14} = -98.9702722884$$
$$x_{15} = 45.5750317956$$
$$x_{16} = -11.0855384065$$
$$x_{17} = 23.604284773$$
$$x_{18} = -64.4181717218$$
$$x_{19} = -80.1230928149$$
$$x_{20} = -48.7152107176$$
$$x_{21} = 42.4350618814$$
$$x_{22} = -14.2074367252$$
$$x_{23} = 83.2642147041$$
$$x_{24} = 80.1230928149$$
$$x_{25} = 17.336377924$$
$$x_{26} = 14.2074367252$$
$$x_{27} = 26.7409160148$$
$$x_{28} = -23.604284773$$
$$x_{29} = -92.687771772$$
$$x_{30} = -76.9820093304$$
$$x_{31} = 61.2773745336$$
$$x_{32} = 58.1366632449$$
$$x_{33} = -4.91318043943$$
$$x_{34} = 64.4181717218$$
$$x_{35} = 76.9820093304$$
$$x_{36} = 33.0170010334$$
$$x_{37} = -7.97866571241$$
$$x_{38} = -2.02875783811$$
$$x_{39} = -83.2642147041$$
$$x_{40} = -73.840969149$$
$$x_{41} = 92.687771772$$
$$x_{42} = 67.5590428388$$
$$x_{43} = -58.1366632449$$
$$x_{44} = 54.9960525575$$
$$x_{45} = 89.5465575382$$
$$x_{46} = -26.7409160148$$
$$x_{47} = -95.829010809$$
$$x_{48} = -36.1559664195$$
$$x_{49} = 39.2953509815$$
$$x_{50} = 70.6999780386$$
$$x_{51} = 98.9702722884$$
$$x_{52} = 20.4691674027$$
$$x_{53} = -20.4691674027$$
$$x_{54} = 2.02875783811$$
$$x_{55} = 73.840969149$$
$$x_{56} = 95.829010809$$
$$x_{57} = -61.2773745336$$
$$x_{58} = -54.9960525575$$
$$x_{59} = -42.4350618814$$
$$x_{60} = 0$$
$$x_{61} = -89.5465575382$$
$$x_{62} = 48.7152107176$$
$$x_{63} = 86.4053708117$$
$$x_{64} = 7.97866571241$$
$$x_{65} = -70.6999780386$$
$$x_{66} = -67.5590428388$$
Зн. экстремумы в точках:

(36.1559664195, -18.071072686121)

(102.11155414, 51.0533289431582)

(-86.4053708117, -43.1997923578054)

(29.8785865061, -14.9309330795934)

(4.91318043943, -2.40723494485613)

(-51.8555607292, 25.9229606251007)

(-33.0170010334, 16.5009338654227)

(-39.2953509815, 19.6413165034459)

(-29.8785865061, -14.9309330795934)

(51.8555607292, 25.9229606251007)

(-45.5750317956, 22.7820324180134)

(-17.336377924, -8.65380430392926)

(11.0855384065, -5.520354007965)

(-98.9702722884, -49.4826103265594)

(45.5750317956, 22.7820324180134)

(-11.0855384065, -5.520354007965)

(23.604284773, -11.7915653248167)

(-64.4181717218, 32.2052056696877)

(-80.1230928149, -40.0584265728296)

(-48.7152107176, -24.352475112684)

(42.4350618814, -21.2116420386295)

(-14.2074367252, 7.08618705688714)

(83.2642147041, 41.6291051864766)

(80.1230928149, -40.0584265728296)

(17.336377924, -8.65380430392926)

(14.2074367252, 7.08618705688714)

(26.7409160148, 13.3611188323487)

(-23.604284773, -11.7915653248167)

(-92.687771772, -46.3411888940296)

(-76.9820093304, 38.4877575641319)

(61.2773745336, -30.6346082722383)

(58.1366632449, 29.0640323640429)

(-4.91318043943, -2.40723494485613)

(64.4181717218, 32.2052056696877)

(76.9820093304, 38.4877575641319)

(33.0170010334, 16.5009338654227)

(-7.97866571241, 3.95836368579389)

(-2.02875783811, 0.909852870579826)

(-83.2642147041, 41.6291051864766)

(-73.840969149, -36.9170993857708)

(92.687771772, -46.3411888940296)

(67.5590428388, -33.7758215604863)

(-58.1366632449, 29.0640323640429)

(54.9960525575, -27.4934816248488)

(89.5465575382, 44.7704871864426)

(-26.7409160148, 13.3611188323487)

(-95.829010809, 47.9118968042328)

(-36.1559664195, -18.071072686121)

(39.2953509815, 19.6413165034459)

(70.6999780386, 35.3464534807966)

(98.9702722884, -49.4826103265594)

(20.4691674027, 10.2223920291261)

(-20.4691674027, 10.2223920291261)

(2.02875783811, 0.909852870579826)

(73.840969149, -36.9170993857708)

(95.829010809, 47.9118968042328)

(-61.2773745336, -30.6346082722383)

(-54.9960525575, -27.4934816248488)

(-42.4350618814, -21.2116420386295)

(0, 0)

(-89.5465575382, 44.7704871864426)

(48.7152107176, -24.352475112684)

(86.4053708117, -43.1997923578054)

(7.97866571241, 3.95836368579389)

(-70.6999780386, 35.3464534807966)

(-67.5590428388, -33.7758215604863)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{66} = 36.1559664195$$
$$x_{66} = -86.4053708117$$
$$x_{66} = 29.8785865061$$
$$x_{66} = 4.91318043943$$
$$x_{66} = -29.8785865061$$
$$x_{66} = -17.336377924$$
$$x_{66} = 11.0855384065$$
$$x_{66} = -98.9702722884$$
$$x_{66} = -11.0855384065$$
$$x_{66} = 23.604284773$$
$$x_{66} = -80.1230928149$$
$$x_{66} = -48.7152107176$$
$$x_{66} = 42.4350618814$$
$$x_{66} = 80.1230928149$$
$$x_{66} = 17.336377924$$
$$x_{66} = -23.604284773$$
$$x_{66} = -92.687771772$$
$$x_{66} = 61.2773745336$$
$$x_{66} = -4.91318043943$$
$$x_{66} = -73.840969149$$
$$x_{66} = 92.687771772$$
$$x_{66} = 67.5590428388$$
$$x_{66} = 54.9960525575$$
$$x_{66} = -36.1559664195$$
$$x_{66} = 98.9702722884$$
$$x_{66} = 73.840969149$$
$$x_{66} = -61.2773745336$$
$$x_{66} = -54.9960525575$$
$$x_{66} = -42.4350618814$$
$$x_{66} = 0$$
$$x_{66} = 48.7152107176$$
$$x_{66} = 86.4053708117$$
$$x_{66} = -67.5590428388$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{66} = 102.11155414$$
$$x_{66} = -51.8555607292$$
$$x_{66} = -33.0170010334$$
$$x_{66} = -39.2953509815$$
$$x_{66} = 51.8555607292$$
$$x_{66} = -45.5750317956$$
$$x_{66} = 45.5750317956$$
$$x_{66} = -64.4181717218$$
$$x_{66} = -14.2074367252$$
$$x_{66} = 83.2642147041$$
$$x_{66} = 14.2074367252$$
$$x_{66} = 26.7409160148$$
$$x_{66} = -76.9820093304$$
$$x_{66} = 58.1366632449$$
$$x_{66} = 64.4181717218$$
$$x_{66} = 76.9820093304$$
$$x_{66} = 33.0170010334$$
$$x_{66} = -7.97866571241$$
$$x_{66} = -2.02875783811$$
$$x_{66} = -83.2642147041$$
$$x_{66} = -58.1366632449$$
$$x_{66} = 89.5465575382$$
$$x_{66} = -26.7409160148$$
$$x_{66} = -95.829010809$$
$$x_{66} = 39.2953509815$$
$$x_{66} = 70.6999780386$$
$$x_{66} = 20.4691674027$$
$$x_{66} = -20.4691674027$$
$$x_{66} = 2.02875783811$$
$$x_{66} = 95.829010809$$
$$x_{66} = -89.5465575382$$
$$x_{66} = 7.97866571241$$
$$x_{66} = -70.6999780386$$
Убывает на промежутках

[98.9702722884, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -98.9702722884]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -97.4099011707$$
$$x_{2} = 94.2689923093$$
$$x_{3} = -128.82082299$$
$$x_{4} = 3.64359716743$$
$$x_{5} = 25.2119030642$$
$$x_{6} = -59.7237354324$$
$$x_{7} = -69.1439554765$$
$$x_{8} = 72.2842925037$$
$$x_{9} = 78.5652673846$$
$$x_{10} = 34.6152330552$$
$$x_{11} = 31.4793749203$$
$$x_{12} = -40.889577766$$
$$x_{13} = -72.2842925037$$
$$x_{14} = -31.4793749203$$
$$x_{15} = 53.4444796698$$
$$x_{16} = -94.2689923093$$
$$x_{17} = 84.8465692433$$
$$x_{18} = -44.0276918992$$
$$x_{19} = 75.4247339745$$
$$x_{20} = -56.5839987379$$
$$x_{21} = -9.6295603433$$
$$x_{22} = 37.7520396346$$
$$x_{23} = 18.9546817665$$
$$x_{24} = -28.3447768698$$
$$x_{25} = -6.57833373272$$
$$x_{26} = -25.2119030642$$
$$x_{27} = -84.8465692433$$
$$x_{28} = 1.07687398631$$
$$x_{29} = -100.550852725$$
$$x_{30} = -62.8636572287$$
$$x_{31} = -66.0037377708$$
$$x_{32} = -37.7520396346$$
$$x_{33} = 59.7237354324$$
$$x_{34} = -50.3052188363$$
$$x_{35} = 50.3052188363$$
$$x_{36} = 91.1281305511$$
$$x_{37} = 15.8336114149$$
$$x_{38} = -34.6152330552$$
$$x_{39} = 9.6295603433$$
$$x_{40} = -3.64359716743$$
$$x_{41} = -75.4247339745$$
$$x_{42} = -53.4444796698$$
$$x_{43} = 12.7222987718$$
$$x_{44} = -87.9873209347$$
$$x_{45} = 87.9873209347$$
$$x_{46} = 69.1439554765$$
$$x_{47} = -22.0814757673$$
$$x_{48} = -1.07687398631$$
$$x_{49} = 56.5839987379$$
$$x_{50} = 6.57833373272$$
$$x_{51} = 97.4099011707$$
$$x_{52} = 81.705882148$$
$$x_{53} = 62.8636572287$$
$$x_{54} = -78.5652673846$$
$$x_{55} = 28.3447768698$$
$$x_{56} = -47.1662676028$$
$$x_{57} = -15.8336114149$$
$$x_{58} = -91.1281305511$$
$$x_{59} = -18.9546817665$$
$$x_{60} = 40.889577766$$
$$x_{61} = 100.550852725$$
$$x_{62} = 22.0814757673$$
$$x_{63} = 66.0037377708$$
$$x_{64} = 44.0276918992$$
$$x_{65} = 47.1662676028$$
$$x_{66} = -12.7222987718$$
$$x_{67} = -81.705882148$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[97.4099011707, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -100.550852725]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x*sin(x))/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )} = \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}$$
- Да
$$\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )} = - \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной