График функции y = x*sin(x)+cos(x)

Вы ввели

f(x) = x*sin(x) + cos(x)

$$f{\left (x \right )} = x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -62.815934889$$
$$x_{2} = 62.815934889$$
$$x_{3} = -12.4864543952$$
$$x_{4} = -78.5270825679$$
$$x_{5} = -65.9582857894$$
$$x_{6} = 87.9532251107$$
$$x_{7} = -100.521017075$$
$$x_{8} = 97.3791034786$$
$$x_{9} = -47.1026627704$$
$$x_{10} = -6.1212504669$$
$$x_{11} = -75.3849592185$$
$$x_{12} = -81.6691650818$$
$$x_{13} = -50.2455828376$$
$$x_{14} = 34.5285657555$$
$$x_{15} = -34.5285657555$$
$$x_{16} = 47.1026627704$$
$$x_{17} = -43.9595528889$$
$$x_{18} = 25.0929104121$$
$$x_{19} = -15.6441283703$$
$$x_{20} = 84.8112112993$$
$$x_{21} = 40.8162093266$$
$$x_{22} = -31.3840740179$$
$$x_{23} = -21.94561288$$
$$x_{24} = -97.3791034786$$
$$x_{25} = -87.9532251107$$
$$x_{26} = -28.2389365753$$
$$x_{27} = -56.5309801938$$
$$x_{28} = -84.8112112993$$
$$x_{29} = 59.6735041304$$
$$x_{30} = -69.100567728$$
$$x_{31} = 12.4864543952$$
$$x_{32} = 2.79838604578$$
$$x_{33} = -94.2371684817$$
$$x_{34} = -25.0929104121$$
$$x_{35} = 53.3883466217$$
$$x_{36} = -59.6735041304$$
$$x_{37} = 72.2427897047$$
$$x_{38} = 75.3849592185$$
$$x_{39} = 21.94561288$$
$$x_{40} = 100.521017075$$
$$x_{41} = -91.0952098694$$
$$x_{42} = 81.6691650818$$
$$x_{43} = -53.3883466217$$
$$x_{44} = 43.9595528889$$
$$x_{45} = 18.7964043662$$
$$x_{46} = 56.5309801938$$
$$x_{47} = 28.2389365753$$
$$x_{48} = -2.79838604578$$
$$x_{49} = -18.7964043662$$
$$x_{50} = 50.2455828376$$
$$x_{51} = 31.3840740179$$
$$x_{52} = 6.1212504669$$
$$x_{53} = -40.8162093266$$
$$x_{54} = 15.6441283703$$
$$x_{55} = -113.088493127$$
$$x_{56} = 78.5270825679$$
$$x_{57} = 65.9582857894$$
$$x_{58} = 94.2371684817$$
$$x_{59} = -72.2427897047$$
$$x_{60} = 9.31786646179$$
$$x_{61} = 91.0952098694$$
$$x_{62} = -37.6725735651$$
$$x_{63} = 69.100567728$$
$$x_{64} = 37.6725735651$$
$$x_{65} = -9.31786646179$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sin(x) + cos(x).
$$0 \sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi  pi 
(--, --)
 2   2  

 3*pi  -3*pi 
(----, -----)
  2      2   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[0, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [pi/2, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 6.43729817917$$
$$x_{2} = -91.1171613945$$
$$x_{3} = 65.9885986985$$
$$x_{4} = -44.0050179208$$
$$x_{5} = -147.661626855$$
$$x_{6} = 56.5663442798$$
$$x_{7} = -72.2704670603$$
$$x_{8} = 50.2853663378$$
$$x_{9} = 47.1450977368$$
$$x_{10} = 91.1171613945$$
$$x_{11} = -94.258388345$$
$$x_{12} = 97.3996388791$$
$$x_{13} = -6.43729817917$$
$$x_{14} = -12.6452872239$$
$$x_{15} = 37.7256128278$$
$$x_{16} = 81.6936492356$$
$$x_{17} = 94.258388345$$
$$x_{18} = -75.4114834888$$
$$x_{19} = -65.9885986985$$
$$x_{20} = -3.42561845948$$
$$x_{21} = -116.247530304$$
$$x_{22} = 25.1724463266$$
$$x_{23} = 69.1295029739$$
$$x_{24} = -34.5864242153$$
$$x_{25} = -59.7070073053$$
$$x_{26} = -18.9024099569$$
$$x_{27} = -15.7712848748$$
$$x_{28} = 34.5864242153$$
$$x_{29} = 100.540910787$$
$$x_{30} = 53.4257904774$$
$$x_{31} = -22.0364967279$$
$$x_{32} = 62.8477631945$$
$$x_{33} = 3.42561845948$$
$$x_{34} = 28.3096428545$$
$$x_{35} = -81.6936492356$$
$$x_{36} = -47.1450977368$$
$$x_{37} = 40.8651703305$$
$$x_{38} = -9.52933440536$$
$$x_{39} = -62.8477631945$$
$$x_{40} = 72.2704670603$$
$$x_{41} = -25.1724463266$$
$$x_{42} = 44.0050179208$$
$$x_{43} = 12.6452872239$$
$$x_{44} = -100.540910787$$
$$x_{45} = -0.860333589019$$
$$x_{46} = 9.52933440536$$
$$x_{47} = -31.4477146375$$
$$x_{48} = -97.3996388791$$
$$x_{49} = -84.834788718$$
$$x_{50} = 22.0364967279$$
$$x_{51} = 84.834788718$$
$$x_{52} = 59.7070073053$$
$$x_{53} = 15.7712848748$$
$$x_{54} = -78.5525459842$$
$$x_{55} = -40.8651703305$$
$$x_{56} = -50.2853663378$$
$$x_{57} = 31.4477146375$$
$$x_{58} = -53.4257904774$$
$$x_{59} = 0.860333589019$$
$$x_{60} = -37.7256128278$$
$$x_{61} = 75.4114834888$$
$$x_{62} = -69.1295029739$$
$$x_{63} = -56.5663442798$$
$$x_{64} = 78.5525459842$$
$$x_{65} = 18.9024099569$$
$$x_{66} = -87.9759605525$$
$$x_{67} = 87.9759605525$$
$$x_{68} = -28.3096428545$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[97.3996388791, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -100.540910787]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(x) + cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$$
- Да
$$x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной