График функции y = x*sin(x)+cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = x*sin(x) + cos(x)
f(x)=xsin(x)+cos(x)f{\left (x \right )} = x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}
График функции
50100150200250300350400450500550600650700750800-20002000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
xsin(x)+cos(x)=0x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=62.815934889x_{1} = -62.815934889
x2=62.815934889x_{2} = 62.815934889
x3=12.4864543952x_{3} = -12.4864543952
x4=78.5270825679x_{4} = -78.5270825679
x5=65.9582857894x_{5} = -65.9582857894
x6=87.9532251107x_{6} = 87.9532251107
x7=100.521017075x_{7} = -100.521017075
x8=97.3791034786x_{8} = 97.3791034786
x9=47.1026627704x_{9} = -47.1026627704
x10=6.1212504669x_{10} = -6.1212504669
x11=75.3849592185x_{11} = -75.3849592185
x12=81.6691650818x_{12} = -81.6691650818
x13=50.2455828376x_{13} = -50.2455828376
x14=34.5285657555x_{14} = 34.5285657555
x15=34.5285657555x_{15} = -34.5285657555
x16=47.1026627704x_{16} = 47.1026627704
x17=43.9595528889x_{17} = -43.9595528889
x18=25.0929104121x_{18} = 25.0929104121
x19=15.6441283703x_{19} = -15.6441283703
x20=84.8112112993x_{20} = 84.8112112993
x21=40.8162093266x_{21} = 40.8162093266
x22=31.3840740179x_{22} = -31.3840740179
x23=21.94561288x_{23} = -21.94561288
x24=97.3791034786x_{24} = -97.3791034786
x25=87.9532251107x_{25} = -87.9532251107
x26=28.2389365753x_{26} = -28.2389365753
x27=56.5309801938x_{27} = -56.5309801938
x28=84.8112112993x_{28} = -84.8112112993
x29=59.6735041304x_{29} = 59.6735041304
x30=69.100567728x_{30} = -69.100567728
x31=12.4864543952x_{31} = 12.4864543952
x32=2.79838604578x_{32} = 2.79838604578
x33=94.2371684817x_{33} = -94.2371684817
x34=25.0929104121x_{34} = -25.0929104121
x35=53.3883466217x_{35} = 53.3883466217
x36=59.6735041304x_{36} = -59.6735041304
x37=72.2427897047x_{37} = 72.2427897047
x38=75.3849592185x_{38} = 75.3849592185
x39=21.94561288x_{39} = 21.94561288
x40=100.521017075x_{40} = 100.521017075
x41=91.0952098694x_{41} = -91.0952098694
x42=81.6691650818x_{42} = 81.6691650818
x43=53.3883466217x_{43} = -53.3883466217
x44=43.9595528889x_{44} = 43.9595528889
x45=18.7964043662x_{45} = 18.7964043662
x46=56.5309801938x_{46} = 56.5309801938
x47=28.2389365753x_{47} = 28.2389365753
x48=2.79838604578x_{48} = -2.79838604578
x49=18.7964043662x_{49} = -18.7964043662
x50=50.2455828376x_{50} = 50.2455828376
x51=31.3840740179x_{51} = 31.3840740179
x52=6.1212504669x_{52} = 6.1212504669
x53=40.8162093266x_{53} = -40.8162093266
x54=15.6441283703x_{54} = 15.6441283703
x55=113.088493127x_{55} = -113.088493127
x56=78.5270825679x_{56} = 78.5270825679
x57=65.9582857894x_{57} = 65.9582857894
x58=94.2371684817x_{58} = 94.2371684817
x59=72.2427897047x_{59} = -72.2427897047
x60=9.31786646179x_{60} = 9.31786646179
x61=91.0952098694x_{61} = 91.0952098694
x62=37.6725735651x_{62} = -37.6725735651
x63=69.100567728x_{63} = 69.100567728
x64=37.6725735651x_{64} = 37.6725735651
x65=9.31786646179x_{65} = -9.31786646179
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sin(x) + cos(x).
0sin(0)+cos(0)0 \sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
xcos(x)=0x \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

 pi  pi 
(--, --)
 2   2  

 3*pi  -3*pi 
(----, -----)
  2      2   


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x3=0x_{3} = 0
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
Максимумы функции в точках:
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Убывает на промежутках
[0, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [pi/2, 3*pi/2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
xsin(x)+cos(x)=0- x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=6.43729817917x_{1} = 6.43729817917
x2=91.1171613945x_{2} = -91.1171613945
x3=65.9885986985x_{3} = 65.9885986985
x4=44.0050179208x_{4} = -44.0050179208
x5=147.661626855x_{5} = -147.661626855
x6=56.5663442798x_{6} = 56.5663442798
x7=72.2704670603x_{7} = -72.2704670603
x8=50.2853663378x_{8} = 50.2853663378
x9=47.1450977368x_{9} = 47.1450977368
x10=91.1171613945x_{10} = 91.1171613945
x11=94.258388345x_{11} = -94.258388345
x12=97.3996388791x_{12} = 97.3996388791
x13=6.43729817917x_{13} = -6.43729817917
x14=12.6452872239x_{14} = -12.6452872239
x15=37.7256128278x_{15} = 37.7256128278
x16=81.6936492356x_{16} = 81.6936492356
x17=94.258388345x_{17} = 94.258388345
x18=75.4114834888x_{18} = -75.4114834888
x19=65.9885986985x_{19} = -65.9885986985
x20=3.42561845948x_{20} = -3.42561845948
x21=116.247530304x_{21} = -116.247530304
x22=25.1724463266x_{22} = 25.1724463266
x23=69.1295029739x_{23} = 69.1295029739
x24=34.5864242153x_{24} = -34.5864242153
x25=59.7070073053x_{25} = -59.7070073053
x26=18.9024099569x_{26} = -18.9024099569
x27=15.7712848748x_{27} = -15.7712848748
x28=34.5864242153x_{28} = 34.5864242153
x29=100.540910787x_{29} = 100.540910787
x30=53.4257904774x_{30} = 53.4257904774
x31=22.0364967279x_{31} = -22.0364967279
x32=62.8477631945x_{32} = 62.8477631945
x33=3.42561845948x_{33} = 3.42561845948
x34=28.3096428545x_{34} = 28.3096428545
x35=81.6936492356x_{35} = -81.6936492356
x36=47.1450977368x_{36} = -47.1450977368
x37=40.8651703305x_{37} = 40.8651703305
x38=9.52933440536x_{38} = -9.52933440536
x39=62.8477631945x_{39} = -62.8477631945
x40=72.2704670603x_{40} = 72.2704670603
x41=25.1724463266x_{41} = -25.1724463266
x42=44.0050179208x_{42} = 44.0050179208
x43=12.6452872239x_{43} = 12.6452872239
x44=100.540910787x_{44} = -100.540910787
x45=0.860333589019x_{45} = -0.860333589019
x46=9.52933440536x_{46} = 9.52933440536
x47=31.4477146375x_{47} = -31.4477146375
x48=97.3996388791x_{48} = -97.3996388791
x49=84.834788718x_{49} = -84.834788718
x50=22.0364967279x_{50} = 22.0364967279
x51=84.834788718x_{51} = 84.834788718
x52=59.7070073053x_{52} = 59.7070073053
x53=15.7712848748x_{53} = 15.7712848748
x54=78.5525459842x_{54} = -78.5525459842
x55=40.8651703305x_{55} = -40.8651703305
x56=50.2853663378x_{56} = -50.2853663378
x57=31.4477146375x_{57} = 31.4477146375
x58=53.4257904774x_{58} = -53.4257904774
x59=0.860333589019x_{59} = 0.860333589019
x60=37.7256128278x_{60} = -37.7256128278
x61=75.4114834888x_{61} = 75.4114834888
x62=69.1295029739x_{62} = -69.1295029739
x63=56.5663442798x_{63} = -56.5663442798
x64=78.5525459842x_{64} = 78.5525459842
x65=18.9024099569x_{65} = 18.9024099569
x66=87.9759605525x_{66} = -87.9759605525
x67=87.9759605525x_{67} = 87.9759605525
x68=28.3096428545x_{68} = -28.3096428545

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[97.3996388791, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -100.540910787]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=limx(xsin(x)+cos(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=limx(xsin(x)+cos(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(x) + cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(1x(xsin(x)+cos(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(1x(xsin(x)+cos(x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
xsin(x)+cos(x)=xsin(x)+cos(x)x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}
- Да
xsin(x)+cos(x)=xsin(x)cos(x)x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}
- Нет
значит, функция
является
чётной