График функции y = x*tan(x)

Вы ввели

f(x) = x*tan(x)

$$f{\left(x \right)} = x \tan{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \tan{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 34.5575191894877$$
$$x_{2} = 72.2566310325652$$
$$x_{3} = -6.28318530717959$$
$$x_{4} = 47.1238898038469$$
$$x_{5} = -47.1238898038469$$
$$x_{6} = -97.3893722612836$$
$$x_{7} = -25.1327412287183$$
$$x_{8} = -72.2566310325652$$
$$x_{9} = 31.4159265358979$$
$$x_{10} = -9.42477796076938$$
$$x_{11} = 81.6814089933346$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = 28.2743338823081$$
$$x_{14} = 43.9822971502571$$
$$x_{15} = 6.28318530717959$$
$$x_{16} = -34.5575191894877$$
$$x_{17} = -75.398223686155$$
$$x_{18} = 53.4070751110265$$
$$x_{19} = 50.2654824574367$$
$$x_{20} = 21.9911485751286$$
$$x_{21} = 56.5486677646163$$
$$x_{22} = -62.8318530717959$$
$$x_{23} = -15.707963267949$$
$$x_{24} = 62.8318530717959$$
$$x_{25} = -69.1150383789755$$
$$x_{26} = -59.6902604182061$$
$$x_{27} = 9.42477796076938$$
$$x_{28} = 37.6991118430775$$
$$x_{29} = 78.5398163397448$$
$$x_{30} = -43.9822971502571$$
$$x_{31} = -28.2743338823081$$
$$x_{32} = -53.4070751110265$$
$$x_{33} = 65.9734457253857$$
$$x_{34} = -50.2654824574367$$
$$x_{35} = -65.9734457253857$$
$$x_{36} = -100.530964914873$$
$$x_{37} = -94.2477796076938$$
$$x_{38} = 87.9645943005142$$
$$x_{39} = 91.106186954104$$
$$x_{40} = -91.106186954104$$
$$x_{41} = -12.5663706143592$$
$$x_{42} = -56.5486677646163$$
$$x_{43} = -18.8495559215388$$
$$x_{44} = 40.8407044966673$$
$$x_{45} = -37.6991118430775$$
$$x_{46} = -40.8407044966673$$
$$x_{47} = 12.5663706143592$$
$$x_{48} = -87.9645943005142$$
$$x_{49} = -21.9911485751286$$
$$x_{50} = 97.3893722612836$$
$$x_{51} = 15.707963267949$$
$$x_{52} = 100.530964914873$$
$$x_{53} = -31.4159265358979$$
$$x_{54} = -3.14159265358979$$
$$x_{55} = 3.14159265358979$$
$$x_{56} = 75.398223686155$$
$$x_{57} = 84.8230016469244$$
$$x_{58} = 18.8495559215388$$
$$x_{59} = 59.6902604182061$$
$$x_{60} = -84.8230016469244$$
$$x_{61} = -78.5398163397448$$
$$x_{62} = 69.1150383789755$$
$$x_{63} = 94.2477796076938$$
$$x_{64} = -81.6814089933346$$
$$x_{65} = 25.1327412287183$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*tan(x).
$$0 \tan{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3.62453599341999 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{2} = 3.46683696838538 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = -4.47043813023163 \cdot 10^{-13}$$
Зн. экстремумы в точках:

(3.62453599341999e-17, 1.31372611675971e-33)

(3.46683696838538e-18, 1.20189585653635e-35)

(0, 0)

(-4.47043813023163e-13, 1.99848170762288e-25)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3.62453599341999 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{2} = 3.46683696838538 \cdot 10^{-18}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = -4.47043813023163 \cdot 10^{-13}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[3.62453599341999 \cdot 10^{-17}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -4.47043813023163 \cdot 10^{-13}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 53.3883466217256$$
$$x_{2} = 84.811211299318$$
$$x_{3} = 78.5270825679419$$
$$x_{4} = 25.0929104121121$$
$$x_{5} = -53.3883466217256$$
$$x_{6} = -94.2371684817036$$
$$x_{7} = -28.2389365752603$$
$$x_{8} = -21.945612879981$$
$$x_{9} = 15.644128370333$$
$$x_{10} = -97.3791034786112$$
$$x_{11} = 40.8162093266346$$
$$x_{12} = -2.79838604578389$$
$$x_{13} = 2.79838604578389$$
$$x_{14} = -31.3840740178899$$
$$x_{15} = 37.672573565113$$
$$x_{16} = -56.5309801938186$$
$$x_{17} = -15.644128370333$$
$$x_{18} = -78.5270825679419$$
$$x_{19} = 43.9595528888955$$
$$x_{20} = -65.9582857893902$$
$$x_{21} = 69.100567727981$$
$$x_{22} = 9.31786646179107$$
$$x_{23} = -37.672573565113$$
$$x_{24} = -91.0952098694071$$
$$x_{25} = 21.945612879981$$
$$x_{26} = 31.3840740178899$$
$$x_{27} = 18.7964043662102$$
$$x_{28} = -18.7964043662102$$
$$x_{29} = -25.0929104121121$$
$$x_{30} = 34.5285657554621$$
$$x_{31} = -6.12125046689807$$
$$x_{32} = -9.31786646179107$$
$$x_{33} = 6.12125046689807$$
$$x_{34} = -84.811211299318$$
$$x_{35} = 94.2371684817036$$
$$x_{36} = -50.2455828375744$$
$$x_{37} = -59.6735041304405$$
$$x_{38} = 50.2455828375744$$
$$x_{39} = 65.9582857893902$$
$$x_{40} = -12.4864543952238$$
$$x_{41} = 12.4864543952238$$
$$x_{42} = -47.1026627703624$$
$$x_{43} = 72.2427897046973$$
$$x_{44} = 87.9532251106725$$
$$x_{45} = -34.5285657554621$$
$$x_{46} = 28.2389365752603$$
$$x_{47} = 62.8159348889734$$
$$x_{48} = -75.3849592185347$$
$$x_{49} = 91.0952098694071$$
$$x_{50} = 81.6691650818489$$
$$x_{51} = 97.3791034786112$$
$$x_{52} = 59.6735041304405$$
$$x_{53} = 56.5309801938186$$
$$x_{54} = -62.8159348889734$$
$$x_{55} = -100.521017074687$$
$$x_{56} = 47.1026627703624$$
$$x_{57} = -40.8162093266346$$
$$x_{58} = 100.521017074687$$
$$x_{59} = 75.3849592185347$$
$$x_{60} = -43.9595528888955$$
$$x_{61} = -72.2427897046973$$
$$x_{62} = -87.9532251106725$$
$$x_{63} = -81.6691650818489$$
$$x_{64} = -69.100567727981$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[100.521017074687, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-2.79838604578389, 2.79838604578389\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*tan(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \tan{\left(x \right)} = x \tan{\left(x \right)}$$
- Да
$$x \tan{\left(x \right)} = - x \tan{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График