График функции y = x*(tan(x))

Вы ввели

f(x) = x*tan(x)

$$f{\left (x \right )} = x \tan{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \tan{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 31.4159265359$$
$$x_{3} = 81.6814089933$$
$$x_{4} = 84.8230016469$$
$$x_{5} = -53.407075111$$
$$x_{6} = 65.9734457254$$
$$x_{7} = 3.14159265359$$
$$x_{8} = 15.7079632679$$
$$x_{9} = 100.530964915$$
$$x_{10} = 50.2654824574$$
$$x_{11} = -3.14159265359$$
$$x_{12} = 40.8407044967$$
$$x_{13} = -59.6902604182$$
$$x_{14} = 97.3893722613$$
$$x_{15} = 78.5398163397$$
$$x_{16} = -25.1327412287$$
$$x_{17} = -43.9822971503$$
$$x_{18} = 25.1327412287$$
$$x_{19} = -81.6814089933$$
$$x_{20} = -91.1061869541$$
$$x_{21} = 87.9645943005$$
$$x_{22} = 69.115038379$$
$$x_{23} = -34.5575191895$$
$$x_{24} = 28.2743338823$$
$$x_{25} = -31.4159265359$$
$$x_{26} = -100.530964915$$
$$x_{27} = -28.2743338823$$
$$x_{28} = 72.2566310326$$
$$x_{29} = 56.5486677646$$
$$x_{30} = -75.3982236862$$
$$x_{31} = -69.115038379$$
$$x_{32} = -6.28318530718$$
$$x_{33} = -9.42477796077$$
$$x_{34} = 6.28318530718$$
$$x_{35} = 75.3982236862$$
$$x_{36} = -65.9734457254$$
$$x_{37} = -87.9645943005$$
$$x_{38} = -72.2566310326$$
$$x_{39} = 18.8495559215$$
$$x_{40} = -84.8230016469$$
$$x_{41} = 9.42477796077$$
$$x_{42} = -50.2654824574$$
$$x_{43} = -56.5486677646$$
$$x_{44} = 91.1061869541$$
$$x_{45} = 59.6902604182$$
$$x_{46} = -47.1238898038$$
$$x_{47} = 12.5663706144$$
$$x_{48} = -62.8318530718$$
$$x_{49} = 62.8318530718$$
$$x_{50} = -18.8495559215$$
$$x_{51} = -12.5663706144$$
$$x_{52} = -37.6991118431$$
$$x_{53} = -97.3893722613$$
$$x_{54} = 94.2477796077$$
$$x_{55} = 34.5575191895$$
$$x_{56} = -21.9911485751$$
$$x_{57} = 21.9911485751$$
$$x_{58} = 37.6991118431$$
$$x_{59} = 53.407075111$$
$$x_{60} = -78.5398163397$$
$$x_{61} = 0$$
$$x_{62} = 43.9822971503$$
$$x_{63} = -40.8407044967$$
$$x_{64} = -15.7079632679$$
$$x_{65} = 47.1238898038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*tan(x).
$$0 \tan{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \tan{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4.47043813023 \cdot 10^{-13}$$
$$x_{2} = 3.62453599342 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = 3.46683696839 \cdot 10^{-18}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-4.47043813023e-13, 1.99848170762143e-25)

(3.62453599342e-17, 1.31372611675971e-33)

(0, 0)

(3.46683696839e-18, 1.20189585653956e-35)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = -4.47043813023 \cdot 10^{-13}$$
$$x_{4} = 3.62453599342 \cdot 10^{-17}$$
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = 3.46683696839 \cdot 10^{-18}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[3.62453599342e-17, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -4.47043813023e-13]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -62.815934889$$
$$x_{2} = 62.815934889$$
$$x_{3} = -12.4864543952$$
$$x_{4} = -78.5270825679$$
$$x_{5} = -65.9582857894$$
$$x_{6} = 65.9582857894$$
$$x_{7} = -100.521017075$$
$$x_{8} = 97.3791034786$$
$$x_{9} = -47.1026627704$$
$$x_{10} = -6.1212504669$$
$$x_{11} = -75.3849592185$$
$$x_{12} = -81.6691650818$$
$$x_{13} = -50.2455828376$$
$$x_{14} = 34.5285657555$$
$$x_{15} = -34.5285657555$$
$$x_{16} = 47.1026627704$$
$$x_{17} = -43.9595528889$$
$$x_{18} = 25.0929104121$$
$$x_{19} = -15.6441283703$$
$$x_{20} = 84.8112112993$$
$$x_{21} = 40.8162093266$$
$$x_{22} = -31.3840740179$$
$$x_{23} = -21.94561288$$
$$x_{24} = -97.3791034786$$
$$x_{25} = -87.9532251107$$
$$x_{26} = -28.2389365753$$
$$x_{27} = -56.5309801938$$
$$x_{28} = -84.8112112993$$
$$x_{29} = 59.6735041304$$
$$x_{30} = -69.100567728$$
$$x_{31} = 12.4864543952$$
$$x_{32} = 43.9595528889$$
$$x_{33} = -94.2371684817$$
$$x_{34} = -25.0929104121$$
$$x_{35} = 53.3883466217$$
$$x_{36} = -59.6735041304$$
$$x_{37} = 72.2427897047$$
$$x_{38} = 75.3849592185$$
$$x_{39} = 21.94561288$$
$$x_{40} = 100.521017075$$
$$x_{41} = -91.0952098694$$
$$x_{42} = 81.6691650818$$
$$x_{43} = -53.3883466217$$
$$x_{44} = 18.7964043662$$
$$x_{45} = 56.5309801938$$
$$x_{46} = 28.2389365753$$
$$x_{47} = -2.79838604578$$
$$x_{48} = -18.7964043662$$
$$x_{49} = 50.2455828376$$
$$x_{50} = 31.3840740179$$
$$x_{51} = 6.1212504669$$
$$x_{52} = -40.8162093266$$
$$x_{53} = 15.6441283703$$
$$x_{54} = 78.5270825679$$
$$x_{55} = 87.9532251107$$
$$x_{56} = 94.2371684817$$
$$x_{57} = -72.2427897047$$
$$x_{58} = 9.31786646179$$
$$x_{59} = 2.79838604578$$
$$x_{60} = 91.0952098694$$
$$x_{61} = -37.6725735651$$
$$x_{62} = 69.100567728$$
$$x_{63} = 37.6725735651$$
$$x_{64} = -9.31786646179$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[100.521017075, oo)

Выпуклая на промежутках

[-2.79838604578, 2.79838604578]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(x \tan{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(x \tan{\left (x \right )}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*tan(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \tan{\left (x \right )} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty} \tan{\left (x \right )} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \tan{\left (x \right )} = x \tan{\left (x \right )}$$
- Да
$$x \tan{\left (x \right )} = - x \tan{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной