График функции y = x^(acos(x))

Вы ввели

        acos(x)
f(x) = x       

$$f{\left (x \right )} = x^{\operatorname{acos}{\left (x \right )}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{\operatorname{acos}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^acos(x).
$$0^{\operatorname{acos}{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{\operatorname{acos}{\left (x \right )}} \left(- \frac{\log{\left (x \right )}}{\sqrt{- x^{2} + 1}} + \frac{1}{x} \operatorname{acos}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} x^{\operatorname{acos}{\left (x \right )}}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} x^{\operatorname{acos}{\left (x \right )}}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^acos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} x^{\operatorname{acos}{\left (x \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} x^{\operatorname{acos}{\left (x \right )}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{\operatorname{acos}{\left (x \right )}} = \left(- x\right)^{\operatorname{acos}{\left (- x \right )}}$$
- Нет
$$x^{\operatorname{acos}{\left (x \right )}} = - \left(- x\right)^{\operatorname{acos}{\left (- x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной