График функции y = x^4-x^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        4    3
f(x) = x  - x 
f(x)=x4x3f{\left(x \right)} = x^{4} - x^{3}
График функции
02468-8-6-4-2-101020000-10000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x4x3=0x^{4} - x^{3} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - x^3.
04030^{4} - 0^{3}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
4x33x2=04 x^{3} - 3 x^{2} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=34x_{2} = \frac{3}{4}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

      -27  
(3/4, ----)
      256  


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=34x_{1} = \frac{3}{4}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[34,)\left[\frac{3}{4}, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,34]\left(-\infty, \frac{3}{4}\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
6x(2x1)=06 x \left(2 x - 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,0][12,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
[0,12]\left[0, \frac{1}{2}\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x4x3)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - x^{3}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x4x3)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - x^{3}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x4x3x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - x^{3}}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x4x3x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - x^{3}}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x4x3=x4+x3x^{4} - x^{3} = x^{4} + x^{3}
- Нет
x4x3=x4x3x^{4} - x^{3} = - x^{4} - x^{3}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^4-x^3 /media/krcore-image-pods/hash/xy/7/54/fe3c19b14a2927c45a64e67e96402.png