График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x4−x3=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 x2=1 Численное решение x1=1 x2=0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^4 - x^3. 04−03 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная 4x3−3x2=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=43 Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
-27
(3/4, ----)
256
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=43 Максимумов у функции нет Убывает на промежутках [43,∞) Возрастает на промежутках (−∞,43]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 6x(2x−1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=21
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (−∞,0]∪[21,∞) Выпуклая на промежутках [0,21]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x4−x3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x4−x3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xx4−x3)=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(xx4−x3)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x4−x3=x4+x3 - Нет x4−x3=−x4−x3 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной