График функции y = x^2/e^x

Вы ввели

        2
       x 
f(x) = --
        x
       e 

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{e^{x}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2}}{e^{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 105.638644821409$$
$$x_{2} = 75.8609058011359$$
$$x_{3} = 62.0611807434853$$
$$x_{4} = 115.593756384128$$
$$x_{5} = 0$$
$$x_{6} = 83.7828486140689$$
$$x_{7} = 46.5128714785856$$
$$x_{8} = 121.570827102163$$
$$x_{9} = 101.659470122749$$
$$x_{10} = 40.5820728530031$$
$$x_{11} = 93.707404744577$$
$$x_{12} = 48.4320998819442$$
$$x_{13} = 111.610608082484$$
$$x_{14} = 73.8837117221529$$
$$x_{15} = 87.7502050583631$$
$$x_{16} = 67.9624187188197$$
$$x_{17} = 89.7351819043081$$
$$x_{18} = 58.1423474863896$$
$$x_{19} = 103.648824952827$$
$$x_{20} = 35.379255492682$$
$$x_{21} = 60.0999560358985$$
$$x_{22} = 81.8006238116621$$
$$x_{23} = 40.8356618339334$$
$$x_{24} = 44.6050925906729$$
$$x_{25} = 85.7660696193442$$
$$x_{26} = 69.9342805013838$$
$$x_{27} = 56.1888924840258$$
$$x_{28} = 117.585818346237$$
$$x_{29} = 38.9827879874711$$
$$x_{30} = 97.6822895145426$$
$$x_{31} = 99.6706130283057$$
$$x_{32} = 65.9927593677372$$
$$x_{33} = 50.3607330233137$$
$$x_{34} = 119.578180845004$$
$$x_{35} = 54.2402420845623$$
$$x_{36} = 52.2971932633301$$
$$x_{37} = 107.628899840344$$
$$x_{38} = 79.8194870788507$$
$$x_{39} = 113.602013088993$$
$$x_{40} = 95.6945389638031$$
$$x_{41} = 91.720934730719$$
$$x_{42} = 37.1602455397125$$
$$x_{43} = 42.7114678029016$$
$$x_{44} = 64.0255739002577$$
$$x_{45} = 71.9081118282112$$
$$x_{46} = 109.619562634492$$
$$x_{47} = 77.8395419968606$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2/(E^x).
$$\frac{0^{2}}{e^{0}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

       -2 
(2, 4*e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, 2\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\left(x^{2} - 4 x + 2\right) e^{- x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2} + 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2} + 2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[2 - \sqrt{2}, \sqrt{2} + 2\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{e^{x}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{e^{x}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/(E^x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{- x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{- x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2}}{e^{x}} = x^{2} e^{x}$$
- Нет
$$\frac{x^{2}}{e^{x}} = - x^{2} e^{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График