График функции y = x^2/(|x|)

Вы ввели

         2
        x 
f(x) = ---
       |x|

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\left|{x}\right|}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2}}{\left|{x}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2/|x|.
$$\frac{0^{2}}{\left|{0}\right|}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{\left|{x}\right|} - \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(- \delta\left(x\right) + \frac{1}{\left|{x}\right|} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left|{x}\right|}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left|{x}\right|}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/|x|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left|{x}\right|}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left|{x}\right|}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2}}{\left|{x}\right|} = \frac{x^{2}}{\left|{x}\right|}$$
- Да
$$\frac{x^{2}}{\left|{x}\right|} = - \frac{x^{2}}{\left|{x}\right|}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График