График функции y = x^2-9/x

Вы ввели

        2   9
f(x) = x  - -
            x

$$f{\left(x \right)} = x^{2} - \frac{9}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} - \frac{9}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3^{\frac{2}{3}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.0800838230519$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 - 9/x.
$$0^{2} - \frac{9}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x + \frac{9}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

   2/3     3 ___ 
 -6      9*\/ 6  
(------, -------)
   2        2    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(1 - \frac{9}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \cdot \left(1 - \frac{9}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \cdot \left(1 - \frac{9}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 3^{\frac{2}{3}}\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - \frac{9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - \frac{9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 9/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{9}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{9}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} - \frac{9}{x} = x^{2} + \frac{9}{x}$$
- Нет
$$x^{2} - \frac{9}{x} = - x^{2} - \frac{9}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График