График функции y = (x^2-2)^2

Вы ввели

               2
       / 2    \ 
f(x) = \x  - 2/ 

$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 2\right)^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x^{2} - 2\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 1*2)^2.
$$\left(\left(-1\right) 2 + 0^{2}\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 x \left(x^{2} - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 4)

    ___         2 
(-\/ 2, (2 - 2) )

   ___         2 
(\/ 2, (2 - 2) )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{2}, 0\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[0, \sqrt{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \cdot \left(3 x^{2} - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x^{2} - 2\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left(x^{2} - 2\right)^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1*2)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x^{2} - 2\right)^{2} = \left(x^{2} - 2\right)^{2}$$
- Да
$$\left(x^{2} - 2\right)^{2} = - \left(x^{2} - 2\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График