График функции y = (x^2-25)/(x-5)

Вы ввели

        2     
       x  - 25
f(x) = -------
        x - 5 

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 5$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 25}{x - 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -5$$
Численное решение
$$x_{1} = -5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 1*25)/(x - 1*5).
$$\frac{\left(-1\right) 25 + 0^{2}}{\left(-1\right) 5 + 0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 5$$
Точка:

(0, 5)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{2 x}{x - 5} - \frac{x^{2} - 25}{\left(x - 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 5} \left(- \frac{4 x}{x - 5} + 2 + \frac{2 x^{2} - 50}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 5$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 25}{x - 5}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 25}{x - 5}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1*25)/(x - 1*5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 25}{x \left(x - 5\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 25}{x \left(x - 5\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 25}{x - 5} = \frac{x^{2} - 25}{- x - 5}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 25}{x - 5} = - \frac{x^{2} - 25}{- x - 5}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График