График функции y = x^2+log(x+1)

Вы ввели

        2             
f(x) = x  + log(x + 1)

$$f{\left (x \right )} = x^{2} + \log{\left (x + 1 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} + \log{\left (x + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 + log(x + 1).
$$0^{2} + \log{\left (1 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x + \frac{1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1 - sqrt(2)/2] U [-1 + sqrt(2)/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[-1 - sqrt(2)/2, -1 + sqrt(2)/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \log{\left (x + 1 \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \log{\left (x + 1 \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 + log(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + \log{\left (x + 1 \right )}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + \log{\left (x + 1 \right )}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} + \log{\left (x + 1 \right )} = x^{2} + \log{\left (- x + 1 \right )}$$
- Нет
$$x^{2} + \log{\left (x + 1 \right )} = - x^{2} - \log{\left (- x + 1 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной