График функции y = (x^2)*exp(x)

Вы ввели

        2  x
f(x) = x *e 

$$f{\left (x \right )} = x^{2} e^{x}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -107.320716386$$
$$x_{2} = -35.1082010515$$
$$x_{3} = -36.8813855334$$
$$x_{4} = -97.3744818786$$
$$x_{5} = -65.6880004393$$
$$x_{6} = -81.4938033514$$
$$x_{7} = -111.302305761$$
$$x_{8} = -51.9968968445$$
$$x_{9} = -57.839594656$$
$$x_{10} = -113.293656653$$
$$x_{11} = -63.7212246431$$
$$x_{12} = -89.4277891533$$
$$x_{13} = -115.28534901$$
$$x_{14} = -67.6572960646$$
$$x_{15} = -75.5546705896$$
$$x_{16} = -46.2166624605$$
$$x_{17} = -48.1342674151$$
$$x_{18} = -50.0615589623$$
$$x_{19} = -38.6983611854$$
$$x_{20} = -42.4197387542$$
$$x_{21} = -83.475866235$$
$$x_{22} = -105.330526752$$
$$x_{23} = -87.442937904$$
$$x_{24} = -93.3997888156$$
$$x_{25} = -71.602374067$$
$$x_{26} = -53.9389966224$$
$$x_{27} = -109.311317874$$
$$x_{28} = -69.6288334004$$
$$x_{29} = -101.351496587$$
$$x_{30} = -61.7572952616$$
$$x_{31} = -44.310876265$$
$$x_{32} = -95.3868236344$$
$$x_{33} = -85.4589388314$$
$$x_{34} = -59.7965985081$$
$$x_{35} = -77.5330929772$$
$$x_{36} = -55.8868369363$$
$$x_{37} = -91.4134260445$$
$$x_{38} = -99.362719519$$
$$x_{39} = -119.26968017$$
$$x_{40} = -40.5471004173$$
$$x_{41} = -117.277362966$$
$$x_{42} = -121.262283642$$
$$x_{43} = -73.5777125278$$
$$x_{44} = -79.5128437463$$
$$x_{45} = 0$$
$$x_{46} = -103.340776719$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*exp(x).
$$0^{2} e^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

        -2 
(-2, 4*e  )

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2] U [0, oo)

Возрастает на промежутках

[-2, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(x^{2} + 4 x + 2\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2 - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -2 - sqrt(2)] U [-2 + sqrt(2), oo)

Выпуклая на промежутках

[-2 - sqrt(2), -2 + sqrt(2)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} e^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*exp(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} e^{x} = x^{2} e^{- x}$$
- Нет
$$x^{2} e^{x} = - x^{2} e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной