График функции y = x^2*cos(x)

Вы ввели

        2       
f(x) = x *cos(x)

$$f{\left(x \right)} = x^{2} \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 83.2522053201295$$
$$x_{2} = -45.553093477052$$
$$x_{3} = -80.1106126665397$$
$$x_{4} = -86.3937979737193$$
$$x_{5} = 10.9955742875643$$
$$x_{6} = -32.9867228626928$$
$$x_{7} = 86.3937979737193$$
$$x_{8} = 48.6946861306418$$
$$x_{9} = -1.5707963267949$$
$$x_{10} = 0$$
$$x_{11} = 73.8274273593601$$
$$x_{12} = 54.9778714378214$$
$$x_{13} = 23.5619449019235$$
$$x_{14} = 7.85398163397448$$
$$x_{15} = 61.261056745001$$
$$x_{16} = -14.1371669411541$$
$$x_{17} = -95.8185759344887$$
$$x_{18} = -17.2787595947439$$
$$x_{19} = 17.2787595947439$$
$$x_{20} = 80.1106126665397$$
$$x_{21} = 64.4026493985908$$
$$x_{22} = -61.261056745001$$
$$x_{23} = -54.9778714378214$$
$$x_{24} = -89.5353906273091$$
$$x_{25} = 20.4203522483337$$
$$x_{26} = 89.5353906273091$$
$$x_{27} = -10.9955742875643$$
$$x_{28} = 26.7035375555132$$
$$x_{29} = 1.5707963267949$$
$$x_{30} = 29.845130209103$$
$$x_{31} = 45.553093477052$$
$$x_{32} = 36.1283155162826$$
$$x_{33} = -51.8362787842316$$
$$x_{34} = -4.71238898038469$$
$$x_{35} = 4.71238898038469$$
$$x_{36} = -7.85398163397448$$
$$x_{37} = 95.8185759344887$$
$$x_{38} = -73.8274273593601$$
$$x_{39} = -23.5619449019235$$
$$x_{40} = 32.9867228626928$$
$$x_{41} = 51.8362787842316$$
$$x_{42} = -48.6946861306418$$
$$x_{43} = 58.1194640914112$$
$$x_{44} = -70.6858347057703$$
$$x_{45} = -26.7035375555132$$
$$x_{46} = -76.9690200129499$$
$$x_{47} = 39.2699081698724$$
$$x_{48} = -92.6769832808989$$
$$x_{49} = 14.1371669411541$$
$$x_{50} = -64.4026493985908$$
$$x_{51} = -42.4115008234622$$
$$x_{52} = -98.9601685880785$$
$$x_{53} = 76.9690200129499$$
$$x_{54} = 42.4115008234622$$
$$x_{55} = -29.845130209103$$
$$x_{56} = -39.2699081698724$$
$$x_{57} = 98.9601685880785$$
$$x_{58} = -20.4203522483337$$
$$x_{59} = 70.6858347057703$$
$$x_{60} = -36.1283155162826$$
$$x_{61} = 67.5442420521806$$
$$x_{62} = 92.6769832808989$$
$$x_{63} = -58.1194640914112$$
$$x_{64} = -83.2522053201295$$
$$x_{65} = -67.5442420521806$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*cos(x).
$$0^{2} \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -66.0037377708277$$
$$x_{2} = 47.1662676027767$$
$$x_{3} = 37.7520396346102$$
$$x_{4} = -97.4099011706723$$
$$x_{5} = -84.8465692433091$$
$$x_{6} = -94.2689923093066$$
$$x_{7} = 69.1439554764926$$
$$x_{8} = -9.62956034329743$$
$$x_{9} = 0$$
$$x_{10} = 100.550852725424$$
$$x_{11} = 75.4247339745236$$
$$x_{12} = -15.8336114149477$$
$$x_{13} = -91.1281305511393$$
$$x_{14} = 22.0814757672807$$
$$x_{15} = -6.57833373272234$$
$$x_{16} = 6.57833373272234$$
$$x_{17} = -22.0814757672807$$
$$x_{18} = -25.2119030642106$$
$$x_{19} = 40.8895777660408$$
$$x_{20} = -40.8895777660408$$
$$x_{21} = 50.3052188363296$$
$$x_{22} = 15.8336114149477$$
$$x_{23} = -12.7222987717666$$
$$x_{24} = 81.7058821480364$$
$$x_{25} = -59.7237354324305$$
$$x_{26} = 72.2842925036825$$
$$x_{27} = 1.0768739863118$$
$$x_{28} = -31.479374920314$$
$$x_{29} = -28.3447768697864$$
$$x_{30} = 9.62956034329743$$
$$x_{31} = 12.7222987717666$$
$$x_{32} = 56.5839987378634$$
$$x_{33} = -1.0768739863118$$
$$x_{34} = 3.6435971674254$$
$$x_{35} = -69.1439554764926$$
$$x_{36} = 44.0276918992479$$
$$x_{37} = 59.7237354324305$$
$$x_{38} = 18.954681766529$$
$$x_{39} = 53.4444796697636$$
$$x_{40} = -78.5652673845995$$
$$x_{41} = -3.6435971674254$$
$$x_{42} = -18.954681766529$$
$$x_{43} = -44.0276918992479$$
$$x_{44} = -87.9873209346887$$
$$x_{45} = 62.863657228703$$
$$x_{46} = 78.5652673845995$$
$$x_{47} = 91.1281305511393$$
$$x_{48} = 87.9873209346887$$
$$x_{49} = -72.2842925036825$$
$$x_{50} = -75.4247339745236$$
$$x_{51} = -47.1662676027767$$
$$x_{52} = -81.7058821480364$$
$$x_{53} = -53.4444796697636$$
$$x_{54} = 34.6152330552306$$
$$x_{55} = 25.2119030642106$$
$$x_{56} = 31.479374920314$$
$$x_{57} = -62.863657228703$$
$$x_{58} = 97.4099011706723$$
$$x_{59} = -37.7520396346102$$
$$x_{60} = -34.6152330552306$$
$$x_{61} = 84.8465692433091$$
$$x_{62} = 66.0037377708277$$
$$x_{63} = -100.550852725424$$
$$x_{64} = -56.5839987378634$$
$$x_{65} = 94.2689923093066$$
$$x_{66} = -50.3052188363296$$
$$x_{67} = 28.3447768697864$$
Зн. экстремумы в точках:

(-66.0037377708277, -4354.4947759217)

(47.1662676027767, -2222.65949258718)

(37.7520396346102, 1423.22069663783)

(-97.4099011706723, -9486.68947818992)

(-84.8465692433091, -7196.94114542993)

(-94.2689923093066, 8884.64358592955)

(69.1439554764926, 4778.88783305817)

(-9.62956034329743, -90.7908960221418)

(0, 0)

(100.550852725424, 10108.4745770583)

(75.4247339745236, 5686.89154919726)

(-15.8336114149477, -248.726869289185)

(-91.1281305511393, -8302.3368999697)

(22.0814757672807, -485.603793917741)

(-6.57833373272234, 41.4032422108864)

(6.57833373272234, 41.4032422108864)

(-22.0814757672807, -485.603793917741)

(-25.2119030642106, 633.649446194351)

(40.8895777660408, -1669.96115135336)

(-40.8895777660408, -1669.96115135336)

(50.3052188363296, 2528.6174100174)

(15.8336114149477, -248.726869289185)

(-12.7222987717666, 159.893208545431)

(81.7058821480364, 6673.85207590208)

(-59.7237354324305, -3564.92625455388)

(72.2842925036825, -5223.02009034704)

(1.0768739863118, 0.549774025605498)

(-31.479374920314, 988.957079867956)

(-28.3447768697864, -801.433812963046)

(9.62956034329743, -90.7908960221418)

(12.7222987717666, 159.893208545431)

(56.5839987378634, 3199.75078519348)

(-1.0768739863118, 0.549774025605498)

(3.6435971674254, -11.6378292117556)

(-69.1439554764926, 4778.88783305817)

(44.0276918992479, 1936.44074393829)

(59.7237354324305, -3564.92625455388)

(18.954681766529, 357.296507493256)

(53.4444796697636, -2854.3145053339)

(-78.5652673845995, -6170.50221074225)

(-3.6435971674254, -11.6378292117556)

(-18.954681766529, 357.296507493256)

(-44.0276918992479, 1936.44074393829)

(-87.9873209346887, 7739.76941994707)

(62.863657228703, 3949.84091716867)

(78.5652673845995, -6170.50221074225)

(91.1281305511393, -8302.3368999697)

(87.9873209346887, 7739.76941994707)

(-72.2842925036825, -5223.02009034704)

(-75.4247339745236, 5686.89154919726)

(-47.1662676027767, -2222.65949258718)

(-81.7058821480364, 6673.85207590208)

(-53.4444796697636, -2854.3145053339)

(34.6152330552306, -1196.21935302944)

(25.2119030642106, 633.649446194351)

(31.479374920314, 988.957079867956)

(-62.863657228703, 3949.84091716867)

(97.4099011706723, -9486.68947818992)

(-37.7520396346102, 1423.22069663783)

(-34.6152330552306, -1196.21935302944)

(84.8465692433091, -7196.94114542993)

(66.0037377708277, -4354.4947759217)

(-100.550852725424, 10108.4745770583)

(-56.5839987378634, 3199.75078519348)

(94.2689923093066, 8884.64358592955)

(-50.3052188363296, 2528.6174100174)

(28.3447768697864, -801.433812963046)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -66.0037377708277$$
$$x_{2} = 47.1662676027767$$
$$x_{3} = -97.4099011706723$$
$$x_{4} = -84.8465692433091$$
$$x_{5} = -9.62956034329743$$
$$x_{6} = 0$$
$$x_{7} = -15.8336114149477$$
$$x_{8} = -91.1281305511393$$
$$x_{9} = 22.0814757672807$$
$$x_{10} = -22.0814757672807$$
$$x_{11} = 40.8895777660408$$
$$x_{12} = -40.8895777660408$$
$$x_{13} = 15.8336114149477$$
$$x_{14} = -59.7237354324305$$
$$x_{15} = 72.2842925036825$$
$$x_{16} = -28.3447768697864$$
$$x_{17} = 9.62956034329743$$
$$x_{18} = 3.6435971674254$$
$$x_{19} = 59.7237354324305$$
$$x_{20} = 53.4444796697636$$
$$x_{21} = -78.5652673845995$$
$$x_{22} = -3.6435971674254$$
$$x_{23} = 78.5652673845995$$
$$x_{24} = 91.1281305511393$$
$$x_{25} = -72.2842925036825$$
$$x_{26} = -47.1662676027767$$
$$x_{27} = -53.4444796697636$$
$$x_{28} = 34.6152330552306$$
$$x_{29} = 97.4099011706723$$
$$x_{30} = -34.6152330552306$$
$$x_{31} = 84.8465692433091$$
$$x_{32} = 66.0037377708277$$
$$x_{33} = 28.3447768697864$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{33} = 37.7520396346102$$
$$x_{33} = -94.2689923093066$$
$$x_{33} = 69.1439554764926$$
$$x_{33} = 100.550852725424$$
$$x_{33} = 75.4247339745236$$
$$x_{33} = -6.57833373272234$$
$$x_{33} = 6.57833373272234$$
$$x_{33} = -25.2119030642106$$
$$x_{33} = 50.3052188363296$$
$$x_{33} = -12.7222987717666$$
$$x_{33} = 81.7058821480364$$
$$x_{33} = 1.0768739863118$$
$$x_{33} = -31.479374920314$$
$$x_{33} = 12.7222987717666$$
$$x_{33} = 56.5839987378634$$
$$x_{33} = -1.0768739863118$$
$$x_{33} = -69.1439554764926$$
$$x_{33} = 44.0276918992479$$
$$x_{33} = 18.954681766529$$
$$x_{33} = -18.954681766529$$
$$x_{33} = -44.0276918992479$$
$$x_{33} = -87.9873209346887$$
$$x_{33} = 62.863657228703$$
$$x_{33} = 87.9873209346887$$
$$x_{33} = -75.4247339745236$$
$$x_{33} = -81.7058821480364$$
$$x_{33} = 25.2119030642106$$
$$x_{33} = 31.479374920314$$
$$x_{33} = -62.863657228703$$
$$x_{33} = -37.7520396346102$$
$$x_{33} = -100.550852725424$$
$$x_{33} = -56.5839987378634$$
$$x_{33} = 94.2689923093066$$
$$x_{33} = -50.3052188363296$$
Убывает на промежутках
$$\left[97.4099011706723, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -97.4099011706723\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- x^{2} \cos{\left(x \right)} - 4 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -77.0209248041715$$
$$x_{2} = 20.6129075025746$$
$$x_{3} = -29.978069966608$$
$$x_{4} = -58.1881390858586$$
$$x_{5} = -2.68896749918069$$
$$x_{6} = -86.4400521937386$$
$$x_{7} = -51.9132353685519$$
$$x_{8} = 36.2384169134664$$
$$x_{9} = -23.7295255625192$$
$$x_{10} = 45.6405949760108$$
$$x_{11} = 5.38572965402801$$
$$x_{12} = -8.31398471094493$$
$$x_{13} = 48.7765781423002$$
$$x_{14} = 33.1071774728736$$
$$x_{15} = 8.31398471094493$$
$$x_{16} = 23.7295255625192$$
$$x_{17} = 0.599741421027824$$
$$x_{18} = -26.8518211351302$$
$$x_{19} = -70.7423403203845$$
$$x_{20} = 77.0209248041715$$
$$x_{21} = -95.86028820339$$
$$x_{22} = -11.3396400694003$$
$$x_{23} = 67.6033676125647$$
$$x_{24} = 14.4104316197583$$
$$x_{25} = -64.4646492226716$$
$$x_{26} = 55.0504523208123$$
$$x_{27} = -92.7201071560939$$
$$x_{28} = -61.3262239938688$$
$$x_{29} = -55.0504523208123$$
$$x_{30} = 17.5048370447411$$
$$x_{31} = -14.4104316197583$$
$$x_{32} = -89.5800249069094$$
$$x_{33} = 95.86028820339$$
$$x_{34} = -67.6033676125647$$
$$x_{35} = 42.5054334829582$$
$$x_{36} = 80.1604867055981$$
$$x_{37} = 39.3712875521166$$
$$x_{38} = 2.68896749918069$$
$$x_{39} = -5.38572965402801$$
$$x_{40} = -39.3712875521166$$
$$x_{41} = 29.978069966608$$
$$x_{42} = 70.7423403203845$$
$$x_{43} = 64.4646492226716$$
$$x_{44} = 11.3396400694003$$
$$x_{45} = -73.8815350660339$$
$$x_{46} = -0.599741421027824$$
$$x_{47} = 61.3262239938688$$
$$x_{48} = 92.7201071560939$$
$$x_{49} = -33.1071774728736$$
$$x_{50} = -17.5048370447411$$
$$x_{51} = -20.6129075025746$$
$$x_{52} = 83.3002013673394$$
$$x_{53} = 51.9132353685519$$
$$x_{54} = -45.6405949760108$$
$$x_{55} = 99.0005586689926$$
$$x_{56} = 58.1881390858586$$
$$x_{57} = -99.0005586689926$$
$$x_{58} = -48.7765781423002$$
$$x_{59} = -80.1604867055981$$
$$x_{60} = -42.5054334829582$$
$$x_{61} = 26.8518211351302$$
$$x_{62} = 89.5800249069094$$
$$x_{63} = 86.4400521937386$$
$$x_{64} = -36.2384169134664$$
$$x_{65} = 73.8815350660339$$
$$x_{66} = -83.3002013673394$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[95.86028820339, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -99.0005586689926\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \cos{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \cos{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \cos{\left(x \right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \infty x \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \cos{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \cos{\left(x \right)} = x^{2} \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$x^{2} \cos{\left(x \right)} = - x^{2} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График