График функции y = x^2*sin(x)

Вы ввели

        2       
f(x) = x *sin(x)

$$f{\left(x \right)} = x^{2} \sin{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -84.8230016469244$$
$$x_{2} = -12.5663706143592$$
$$x_{3} = 75.398223686155$$
$$x_{4} = -50.2654824574367$$
$$x_{5} = -97.3893722612836$$
$$x_{6} = 3.14159265358979$$
$$x_{7} = 15.707963267949$$
$$x_{8} = 59.6902604182061$$
$$x_{9} = 40.8407044966673$$
$$x_{10} = -62.8318530717959$$
$$x_{11} = 21.9911485751286$$
$$x_{12} = -53.4070751110265$$
$$x_{13} = -72.2566310325652$$
$$x_{14} = 9.42477796076938$$
$$x_{15} = 87.9645943005142$$
$$x_{16} = -91.106186954104$$
$$x_{17} = -100.530964914873$$
$$x_{18} = -34.5575191894877$$
$$x_{19} = -47.1238898038469$$
$$x_{20} = -87.9645943005142$$
$$x_{21} = 0$$
$$x_{22} = -21.9911485751286$$
$$x_{23} = 37.6991118430775$$
$$x_{24} = -28.2743338823081$$
$$x_{25} = -6.28318530717959$$
$$x_{26} = 43.9822971502571$$
$$x_{27} = 91.106186954104$$
$$x_{28} = -56.5486677646163$$
$$x_{29} = -40.8407044966673$$
$$x_{30} = 94.2477796076938$$
$$x_{31} = -31.4159265358979$$
$$x_{32} = -69.1150383789755$$
$$x_{33} = 47.1238898038469$$
$$x_{34} = 62.8318530717959$$
$$x_{35} = 18.8495559215388$$
$$x_{36} = -37.6991118430775$$
$$x_{37} = 56.5486677646163$$
$$x_{38} = 65.9734457253857$$
$$x_{39} = -59.6902604182061$$
$$x_{40} = -75.398223686155$$
$$x_{41} = -3.14159265358979$$
$$x_{42} = 81.6814089933346$$
$$x_{43} = -18.8495559215388$$
$$x_{44} = 31.4159265358979$$
$$x_{45} = -9.42477796076938$$
$$x_{46} = -15.707963267949$$
$$x_{47} = -43.9822971502571$$
$$x_{48} = 78.5398163397448$$
$$x_{49} = -78.5398163397448$$
$$x_{50} = -81.6814089933346$$
$$x_{51} = 84.8230016469244$$
$$x_{52} = 28.2743338823081$$
$$x_{53} = -25.1327412287183$$
$$x_{54} = -65.9734457253857$$
$$x_{55} = 97.3893722612836$$
$$x_{56} = 69.1150383789755$$
$$x_{57} = 50.2654824574367$$
$$x_{58} = 100.530964914873$$
$$x_{59} = 34.5575191894877$$
$$x_{60} = 6.28318530717959$$
$$x_{61} = 25.1327412287183$$
$$x_{62} = -106.814150222053$$
$$x_{63} = 53.4070751110265$$
$$x_{64} = -94.2477796076938$$
$$x_{65} = 12.5663706143592$$
$$x_{66} = 72.2566310325652$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*sin(x).
$$0^{2} \sin{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 29.9118938695518$$
$$x_{2} = -70.7141100665485$$
$$x_{3} = -86.4169374541167$$
$$x_{4} = 76.9949898891676$$
$$x_{5} = 64.4336791037316$$
$$x_{6} = 83.2762171649775$$
$$x_{7} = 98.9803718651523$$
$$x_{8} = -39.3207281322521$$
$$x_{9} = -61.2936749662429$$
$$x_{10} = 80.1355651940744$$
$$x_{11} = 36.1835330907526$$
$$x_{12} = -20.5175229099417$$
$$x_{13} = -17.3932439645948$$
$$x_{14} = -23.6463238196036$$
$$x_{15} = -67.573830670859$$
$$x_{16} = 86.4169374541167$$
$$x_{17} = 14.2763529183365$$
$$x_{18} = -14.2763529183365$$
$$x_{19} = 0$$
$$x_{20} = -48.7357007949054$$
$$x_{21} = -8.09616360322292$$
$$x_{22} = -45.5969279840735$$
$$x_{23} = 89.5577188827244$$
$$x_{24} = 51.8748140534268$$
$$x_{25} = -58.153842078645$$
$$x_{26} = -5.08698509410227$$
$$x_{27} = 55.0142096788381$$
$$x_{28} = -36.1835330907526$$
$$x_{29} = 3.95930141892882 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{30} = -120.967848975693$$
$$x_{31} = -11.17270586833$$
$$x_{32} = 17.3932439645948$$
$$x_{33} = -64.4336791037316$$
$$x_{34} = -89.5577188827244$$
$$x_{35} = 61.2936749662429$$
$$x_{36} = 11.17270586833$$
$$x_{37} = -92.6985552433969$$
$$x_{38} = 58.153842078645$$
$$x_{39} = -76.9949898891676$$
$$x_{40} = 67.573830670859$$
$$x_{41} = 20.5175229099417$$
$$x_{42} = -73.8545010149048$$
$$x_{43} = 42.458570771699$$
$$x_{44} = 8.09616360322292$$
$$x_{45} = 48.7357007949054$$
$$x_{46} = 45.5969279840735$$
$$x_{47} = -51.8748140534268$$
$$x_{48} = 33.0471686947054$$
$$x_{49} = 92.6985552433969$$
$$x_{50} = -83.2762171649775$$
$$x_{51} = 95.839441141233$$
$$x_{52} = -2.2889297281034$$
$$x_{53} = 39.3207281322521$$
$$x_{54} = -98.9803718651523$$
$$x_{55} = -95.839441141233$$
$$x_{56} = 23.6463238196036$$
$$x_{57} = 73.8545010149048$$
$$x_{58} = 70.7141100665485$$
$$x_{59} = 26.7780870755585$$
$$x_{60} = -55.0142096788381$$
$$x_{61} = -26.7780870755585$$
$$x_{62} = 5.08698509410227$$
$$x_{63} = -29.9118938695518$$
$$x_{64} = 2.2889297281034$$
$$x_{65} = -80.1355651940744$$
$$x_{66} = -42.458570771699$$
$$x_{67} = -33.0471686947054$$
Зн. экстремумы в точках:

(29.9118938695518, -892.728075975236)

(-70.7141100665485, -4998.48656158818)

(-86.4169374541167, 7465.88788203037)

(76.9949898891676, 5926.22947957101)

(64.4336791037316, 4149.70044687478)

(83.2762171649775, 6932.92921007843)

(98.9803718651523, -9795.11462678079)

(-39.3207281322521, -1544.1235331857)

(-61.2936749662429, 3754.91618650696)

(80.1355651940744, -6419.70974281978)

(36.1835330907526, -1307.25263807613)

(-20.5175229099417, -418.982887272434)

(-17.3932439645948, 300.544552657996)

(-23.6463238196036, 557.159297209023)

(-67.573830670859, 4564.22390457183)

(86.4169374541167, -7465.88788203037)

(14.2763529183365, 201.843217881861)

(-14.2763529183365, -201.843217881861)

(0, 0)

(-48.7357007949054, 2373.17105456709)

(-8.09616360322292, -63.6349819515545)

(-45.5969279840735, -2077.08272285774)

(89.5577188827244, 8018.58575924144)

(51.8748140534268, 2688.99855997676)

(-58.153842078645, -3379.87112092779)

(-5.08698509410227, 24.0829602230683)

(55.0142096788381, -3024.56524685288)

(-36.1835330907526, 1307.25263807613)

(3.95930141892882e-7, 6.20662771905043e-20)

(-120.967848975693, -14631.2208957387)

(-11.17270586833, 122.876173513916)

(17.3932439645948, -300.544552657996)

(-64.4336791037316, -4149.70044687478)

(-89.5577188827244, -8018.58575924144)

(61.2936749662429, -3754.91618650696)

(11.17270586833, -122.876173513916)

(-92.6985552433969, 8591.02284218332)

(58.153842078645, 3379.87112092779)

(-76.9949898891676, -5926.22947957101)

(67.573830670859, -4564.22390457183)

(20.5175229099417, 418.982887272434)

(-73.8545010149048, 5452.4884195005)

(42.458570771699, -1800.73355411815)

(8.09616360322292, 63.6349819515545)

(48.7357007949054, -2373.17105456709)

(45.5969279840735, 2077.08272285774)

(-51.8748140534268, -2688.99855997676)

(33.0471686947054, 1090.12083594654)

(92.6985552433969, -8591.02284218332)

(-83.2762171649775, -6932.92921007843)

(95.839441141233, 9183.19913125177)

(-2.2889297281034, -3.94530162528433)

(39.3207281322521, 1544.1235331857)

(-98.9803718651523, 9795.11462678079)

(-95.839441141233, -9183.19913125177)

(23.6463238196036, -557.159297209023)

(73.8545010149048, -5452.4884195005)

(70.7141100665485, 4998.48656158818)

(26.7780870755585, 715.074276149712)

(-55.0142096788381, 3024.56524685288)

(-26.7780870755585, -715.074276149712)

(5.08698509410227, -24.0829602230683)

(-29.9118938695518, 892.728075975236)

(2.2889297281034, 3.94530162528433)

(-80.1355651940744, 6419.70974281978)

(-42.458570771699, 1800.73355411815)

(-33.0471686947054, -1090.12083594654)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 29.9118938695518$$
$$x_{2} = -70.7141100665485$$
$$x_{3} = 98.9803718651523$$
$$x_{4} = -39.3207281322521$$
$$x_{5} = 80.1355651940744$$
$$x_{6} = 36.1835330907526$$
$$x_{7} = -20.5175229099417$$
$$x_{8} = 86.4169374541167$$
$$x_{9} = -14.2763529183365$$
$$x_{10} = -8.09616360322292$$
$$x_{11} = -45.5969279840735$$
$$x_{12} = -58.153842078645$$
$$x_{13} = 55.0142096788381$$
$$x_{14} = -120.967848975693$$
$$x_{15} = 17.3932439645948$$
$$x_{16} = -64.4336791037316$$
$$x_{17} = -89.5577188827244$$
$$x_{18} = 61.2936749662429$$
$$x_{19} = 11.17270586833$$
$$x_{20} = -76.9949898891676$$
$$x_{21} = 67.573830670859$$
$$x_{22} = 42.458570771699$$
$$x_{23} = 48.7357007949054$$
$$x_{24} = -51.8748140534268$$
$$x_{25} = 92.6985552433969$$
$$x_{26} = -83.2762171649775$$
$$x_{27} = -2.2889297281034$$
$$x_{28} = -95.839441141233$$
$$x_{29} = 23.6463238196036$$
$$x_{30} = 73.8545010149048$$
$$x_{31} = -26.7780870755585$$
$$x_{32} = 5.08698509410227$$
$$x_{33} = -33.0471686947054$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{33} = -86.4169374541167$$
$$x_{33} = 76.9949898891676$$
$$x_{33} = 64.4336791037316$$
$$x_{33} = 83.2762171649775$$
$$x_{33} = -61.2936749662429$$
$$x_{33} = -17.3932439645948$$
$$x_{33} = -23.6463238196036$$
$$x_{33} = -67.573830670859$$
$$x_{33} = 14.2763529183365$$
$$x_{33} = -48.7357007949054$$
$$x_{33} = 89.5577188827244$$
$$x_{33} = 51.8748140534268$$
$$x_{33} = -5.08698509410227$$
$$x_{33} = -36.1835330907526$$
$$x_{33} = -11.17270586833$$
$$x_{33} = -92.6985552433969$$
$$x_{33} = 58.153842078645$$
$$x_{33} = 20.5175229099417$$
$$x_{33} = -73.8545010149048$$
$$x_{33} = 8.09616360322292$$
$$x_{33} = 45.5969279840735$$
$$x_{33} = 33.0471686947054$$
$$x_{33} = 95.839441141233$$
$$x_{33} = 39.3207281322521$$
$$x_{33} = -98.9803718651523$$
$$x_{33} = 70.7141100665485$$
$$x_{33} = 26.7780870755585$$
$$x_{33} = -55.0142096788381$$
$$x_{33} = -29.9118938695518$$
$$x_{33} = 2.2889297281034$$
$$x_{33} = -80.1355651940744$$
$$x_{33} = -42.458570771699$$
Убывает на промежутках
$$\left[98.9803718651523, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -120.967848975693\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- x^{2} \sin{\left(x \right)} + 4 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -88.0100241275575$$
$$x_{2} = -31.5423183719258$$
$$x_{3} = 47.2084939833195$$
$$x_{4} = -12.8711405784383$$
$$x_{5} = 91.1500530451789$$
$$x_{6} = -75.4512070764701$$
$$x_{7} = 34.6725661362236$$
$$x_{8} = -15.9554654297511$$
$$x_{9} = 59.7571356682663$$
$$x_{10} = -40.9382191715155$$
$$x_{11} = 94.290185945407$$
$$x_{12} = 88.0100241275575$$
$$x_{13} = 62.895397234671$$
$$x_{14} = -28.4145306971625$$
$$x_{15} = 72.3119117382824$$
$$x_{16} = -1.51985529843113$$
$$x_{17} = 9.81900340196872$$
$$x_{18} = 0$$
$$x_{19} = 37.8046732869526$$
$$x_{20} = 56.6192418251285$$
$$x_{21} = -72.3119117382824$$
$$x_{22} = -3.99444471574142$$
$$x_{23} = 97.4304127980508$$
$$x_{24} = -37.8046732869526$$
$$x_{25} = -62.895397234671$$
$$x_{26} = -66.0339743721325$$
$$x_{27} = 66.0339743721325$$
$$x_{28} = 75.4512070764701$$
$$x_{29} = -84.8701107016488$$
$$x_{30} = -69.1728243307457$$
$$x_{31} = 12.8711405784383$$
$$x_{32} = 78.5906855194896$$
$$x_{33} = -47.2084939833195$$
$$x_{34} = -59.7571356682663$$
$$x_{35} = 15.9554654297511$$
$$x_{36} = -25.2900904960802$$
$$x_{37} = 31.5423183719258$$
$$x_{38} = 100.570724821846$$
$$x_{39} = -6.83214574693118$$
$$x_{40} = -19.0575561537385$$
$$x_{41} = -100.570724821846$$
$$x_{42} = 1.51985529843113$$
$$x_{43} = 44.0729006762809$$
$$x_{44} = 19.0575561537385$$
$$x_{45} = 3.99444471574142$$
$$x_{46} = 28.4145306971625$$
$$x_{47} = 50.3448303040845$$
$$x_{48} = -50.3448303040845$$
$$x_{49} = -9.81900340196872$$
$$x_{50} = -22.1703631077661$$
$$x_{51} = 53.4817799880237$$
$$x_{52} = 40.9382191715155$$
$$x_{53} = -34.6725661362236$$
$$x_{54} = 84.8701107016488$$
$$x_{55} = -53.4817799880237$$
$$x_{56} = -44.0729006762809$$
$$x_{57} = -78.5906855194896$$
$$x_{58} = -97.4304127980508$$
$$x_{59} = -94.290185945407$$
$$x_{60} = -56.6192418251285$$
$$x_{61} = 22.1703631077661$$
$$x_{62} = 81.7303260381702$$
$$x_{63} = -91.1500530451789$$
$$x_{64} = 69.1728243307457$$
$$x_{65} = 25.2900904960802$$
$$x_{66} = -81.7303260381702$$
$$x_{67} = 6.83214574693118$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[97.4304127980508, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -97.4304127980508\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sin{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sin{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(x \right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \infty x \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \sin{\left(x \right)} = - x^{2} \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$x^{2} \sin{\left(x \right)} = x^{2} \sin{\left(x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График