График функции y = x^2*tan(x)

Вы ввели

        2       
f(x) = x *tan(x)

$$f{\left(x \right)} = x^{2} \tan{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \tan{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 59.6902604182061$$
$$x_{2} = -97.3893722612836$$
$$x_{3} = -75.398223686155$$
$$x_{4} = -31.4159265358979$$
$$x_{5} = 97.3893722612836$$
$$x_{6} = -28.2743338823081$$
$$x_{7} = 72.2566310325652$$
$$x_{8} = 47.1238898038469$$
$$x_{9} = 12.5663706143592$$
$$x_{10} = -84.8230016469244$$
$$x_{11} = 56.5486677646163$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = 69.1150383789755$$
$$x_{14} = 81.6814089933346$$
$$x_{15} = 75.398223686155$$
$$x_{16} = -40.8407044966673$$
$$x_{17} = -81.6814089933346$$
$$x_{18} = 91.106186954104$$
$$x_{19} = -94.2477796076938$$
$$x_{20} = -53.4070751110265$$
$$x_{21} = 34.5575191894877$$
$$x_{22} = 40.8407044966673$$
$$x_{23} = -62.8318530717959$$
$$x_{24} = 21.9911485751286$$
$$x_{25} = 15.707963267949$$
$$x_{26} = -15.707963267949$$
$$x_{27} = -21.9911485751286$$
$$x_{28} = 18.8495559215388$$
$$x_{29} = -3.14159265358979$$
$$x_{30} = 3.14159265358979$$
$$x_{31} = 94.2477796076938$$
$$x_{32} = -50.2654824574367$$
$$x_{33} = 100.530964914873$$
$$x_{34} = -78.5398163397448$$
$$x_{35} = 31.4159265358979$$
$$x_{36} = -43.9822971502571$$
$$x_{37} = -37.6991118430775$$
$$x_{38} = -59.6902604182061$$
$$x_{39} = 37.6991118430775$$
$$x_{40} = -100.530964914873$$
$$x_{41} = 84.8230016469244$$
$$x_{42} = 87.9645943005142$$
$$x_{43} = -12.5663706143592$$
$$x_{44} = 62.8318530717959$$
$$x_{45} = -69.1150383789755$$
$$x_{46} = 9.42477796076938$$
$$x_{47} = -18.8495559215388$$
$$x_{48} = 50.2654824574367$$
$$x_{49} = -6.28318530717959$$
$$x_{50} = 43.9822971502571$$
$$x_{51} = 6.28318530717959$$
$$x_{52} = 53.4070751110265$$
$$x_{53} = -56.5486677646163$$
$$x_{54} = -9.42477796076938$$
$$x_{55} = -87.9645943005142$$
$$x_{56} = 25.1327412287183$$
$$x_{57} = -25.1327412287183$$
$$x_{58} = 65.9734457253857$$
$$x_{59} = 28.2743338823081$$
$$x_{60} = -91.106186954104$$
$$x_{61} = -47.1238898038469$$
$$x_{62} = -72.2566310325652$$
$$x_{63} = 78.5398163397448$$
$$x_{64} = -65.9734457253857$$
$$x_{65} = -34.5575191894877$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*tan(x).
$$0^{2} \tan{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 2 x \tan{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x^{2} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 91.0842354292587$$
$$x_{2} = -97.3688368609732$$
$$x_{3} = -69.086103133906$$
$$x_{4} = 75.3716994163885$$
$$x_{5} = 5.96726435810305$$
$$x_{6} = 69.086103133906$$
$$x_{7} = 47.0814548431779$$
$$x_{8} = 43.93683212641$$
$$x_{9} = -84.7994242285037$$
$$x_{10} = -15.5808081405648$$
$$x_{11} = 59.6567572450692$$
$$x_{12} = 84.7994242285037$$
$$x_{13} = -18.7435508863884$$
$$x_{14} = -43.93683212641$$
$$x_{15} = 0$$
$$x_{16} = -81.6569248399483$$
$$x_{17} = -56.513303680917$$
$$x_{18} = -2.51787226577809$$
$$x_{19} = 94.2265597445368$$
$$x_{20} = 9.21332735720748$$
$$x_{21} = 50.2256989613876$$
$$x_{22} = 2.51787226577809$$
$$x_{23} = -28.2036276766186$$
$$x_{24} = -100.511071202847$$
$$x_{25} = -31.3522859596756$$
$$x_{26} = 31.3522859596756$$
$$x_{27} = 56.513303680917$$
$$x_{28} = 78.5143529238898$$
$$x_{29} = 28.2036276766186$$
$$x_{30} = -87.9418588589466$$
$$x_{31} = 25.0532054465023$$
$$x_{32} = -59.6567572450692$$
$$x_{33} = -37.6460725978858$$
$$x_{34} = -78.5143529238898$$
$$x_{35} = 34.4996607566446$$
$$x_{36} = -53.3696312584227$$
$$x_{37} = -62.8000247676753$$
$$x_{38} = -75.3716994163885$$
$$x_{39} = 65.9431328173515$$
$$x_{40} = -34.4996607566446$$
$$x_{41} = -12.4075419598293$$
$$x_{42} = 12.4075419598293$$
$$x_{43} = -40.7917435045268$$
$$x_{44} = 87.9418588589466$$
$$x_{45} = 37.6460725978858$$
$$x_{46} = 53.3696312584227$$
$$x_{47} = 15.5808081405648$$
$$x_{48} = -94.2265597445368$$
$$x_{49} = 21.9002649847656$$
$$x_{50} = -91.0842354292587$$
$$x_{51} = -47.0814548431779$$
$$x_{52} = -5.96726435810305$$
$$x_{53} = -9.21332735720748$$
$$x_{54} = -25.0532054465023$$
$$x_{55} = -65.9431328173515$$
$$x_{56} = 97.3688368609732$$
$$x_{57} = -72.2289536776301$$
$$x_{58} = 100.511071202847$$
$$x_{59} = 40.7917435045268$$
$$x_{60} = 72.2289536776301$$
$$x_{61} = 62.8000247676753$$
$$x_{62} = -50.2256989613876$$
$$x_{63} = 18.7435508863884$$
$$x_{64} = -21.9002649847656$$
$$x_{65} = 81.6569248399483$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[100.511071202847, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -100.511071202847\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \tan{\left(x \right)}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \tan{\left(x \right)}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \tan{\left(x \right)}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \tan{\left(x \right)}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \tan{\left(x \right)}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \tan{\left(x \right)}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*tan(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(x \tan{\left(x \right)}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \tan{\left(x \right)} = - x^{2} \tan{\left(x \right)}$$
- Нет
$$x^{2} \tan{\left(x \right)} = x^{2} \tan{\left(x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График