График функции y = x^cos(x)

Вы ввели

        cos(x)
f(x) = x      

$$f{\left (x \right )} = x^{\cos{\left (x \right )}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{\cos{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^cos(x).
$$0^{\cos{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{\cos{\left (x \right )}} \left(- \log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 40.8473034496$$
$$x_{2} = 37.7064180282$$
$$x_{3} = 28.2849113048$$
$$x_{4} = 3.37991614209$$
$$x_{5} = 59.6943570031$$
$$x_{6} = 72.2598642156$$
$$x_{7} = 87.9671334899$$
$$x_{8} = 65.9770636784$$
$$x_{9} = 6.36781151369$$
$$x_{10} = 22.0058475928$$
$$x_{11} = 78.5427340594$$
$$x_{12} = 15.7310277752$$
$$x_{13} = 12.5976921977$$
$$x_{14} = 47.1293968198$$
$$x_{15} = 84.8256564376$$
$$x_{16} = 1.27285069827$$
$$x_{17} = 91.1086195252$$
$$x_{18} = 103.674635787$$
$$x_{19} = 94.2501135627$$
$$x_{20} = 9.47170218678$$
$$x_{21} = 50.2705603376$$
$$x_{22} = 43.9883049461$$
$$x_{23} = 34.5656848443$$
$$x_{24} = 97.3916147575$$
$$x_{25} = 53.4117815402$$
Зн. экстремумы в точках:

(40.8473034496, 0.024483397757226)

(37.7064180282, 37.7027651938229)

(28.2849113048, 0.0353611499054794)

(3.37991614209, 0.306227040236302)

(59.6943570031, 0.0167525770199101)

(72.2598642156, 0.0138392506396558)

(87.9671334899, 87.965863907785)

(65.9770636784, 0.0151571980130027)

(6.36781151369, 6.32576409081439)

(22.0058475928, 0.0454576448961926)

(78.5427340594, 0.012732158947266)

(15.7310277752, 0.0636152456224976)

(12.5976921977, 12.5820475298685)

(47.1293968198, 0.0212194191497604)

(84.8256564376, 0.0117890705546667)

(1.27285069827, 1.07339150781553)

(91.1086195252, 0.0109760564379996)

(103.674635787, 0.00964565744777539)

(94.2501135627, 94.2489465950729)

(9.47170218678, 0.105839251192372)

(50.2705603376, 50.2680214889037)

(43.9883049461, 43.9853011959107)

(34.5656848443, 0.028933843670019)

(97.3916147575, 0.0102679426284391)

(53.4117815402, 0.0187232859435638)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{25} = 40.8473034496$$
$$x_{25} = 28.2849113048$$
$$x_{25} = 3.37991614209$$
$$x_{25} = 59.6943570031$$
$$x_{25} = 72.2598642156$$
$$x_{25} = 65.9770636784$$
$$x_{25} = 22.0058475928$$
$$x_{25} = 78.5427340594$$
$$x_{25} = 15.7310277752$$
$$x_{25} = 47.1293968198$$
$$x_{25} = 84.8256564376$$
$$x_{25} = 91.1086195252$$
$$x_{25} = 103.674635787$$
$$x_{25} = 9.47170218678$$
$$x_{25} = 34.5656848443$$
$$x_{25} = 97.3916147575$$
$$x_{25} = 53.4117815402$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{25} = 37.7064180282$$
$$x_{25} = 87.9671334899$$
$$x_{25} = 6.36781151369$$
$$x_{25} = 12.5976921977$$
$$x_{25} = 1.27285069827$$
$$x_{25} = 94.2501135627$$
$$x_{25} = 50.2705603376$$
$$x_{25} = 43.9883049461$$
Убывает на промежутках

[103.674635787, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 3.37991614209]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x^{\cos{\left (x \right )}} \left(\left(\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )}\right)^{2} - \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 38.2185681672$$
$$x_{2} = 100.076224801$$
$$x_{3} = 7.0592590657$$
$$x_{4} = 93.7901181716$$
$$x_{5} = 11.9940356352$$
$$x_{6} = 49.7767265206$$
$$x_{7} = 56.0661165822$$
$$x_{8} = 82.1513288531$$
$$x_{9} = 1.93292037133$$
$$x_{10} = 13.202931278$$
$$x_{11} = 31.949927319$$
$$x_{12} = 44.4904554121$$
$$x_{13} = 62.3547011549$$
$$x_{14} = 88.4305515096$$
$$x_{15} = 5.68496874913$$
$$x_{16} = 75.8725522332$$
$$x_{17} = 18.3026589044$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[88.4305515096, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1.93292037133]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\cos{\left (x \right )}} = \left(-\infty\right)^{\langle -1, 1\rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left(-\infty\right)^{\langle -1, 1\rangle}$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\cos{\left (x \right )}} = \infty^{\langle -1, 1\rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty^{\langle -1, 1\rangle}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} x^{\cos{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} x^{\cos{\left (x \right )}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{\cos{\left (x \right )}} = \left(- x\right)^{\cos{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$x^{\cos{\left (x \right )}} = - \left(- x\right)^{\cos{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной