График функции y = x^(cos(x)^(-1))

Вы ввели

          1   
        ------
        cos(x)
f(x) = x      

$$f{\left (x \right )} = x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 77.1131914422$$
$$x_{2} = 77.1219518944$$
$$x_{3} = -73.75$$
$$x_{4} = 89.6799437323$$
$$x_{5} = 17.1765602028$$
$$x_{6} = 42.3984246265$$
$$x_{7} = 80$$
$$x_{8} = 86.3078896549$$
$$x_{9} = 54.8373506335$$
$$x_{10} = 58.25$$
$$x_{11} = 95.9189624175$$
$$x_{12} = 7.91336116829$$
$$x_{13} = 51.911488703$$
$$x_{14} = 102.232228091$$
$$x_{15} = 92.5372591116$$
$$x_{16} = 61.1152015575$$
$$x_{17} = 45.6799943155$$
$$x_{18} = 95.9060565547$$
$$x_{19} = 23.4709348717$$
$$x_{20} = 61.1398221922$$
$$x_{21} = 83.4062689203$$
$$x_{22} = 20.5035720859$$
$$x_{23} = 89.6938062195$$
$$x_{24} = 36$$
$$x_{25} = 42.3267910407$$
$$x_{26} = 51.9251547347$$
$$x_{27} = 39.4010677762$$
$$x_{28} = 14.196719925$$
$$x_{29} = 33.1119285822$$
$$x_{30} = 0$$
$$x_{31} = 98.8032716419$$
$$x_{32} = 48.5683262568$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/cos(x)).
$$0^{\frac{1}{\cos{\left (0 \right )}}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{x \cos{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 42.3255438562$$
$$x_{2} = 34.5493485837$$
$$x_{3} = 80$$
$$x_{4} = -29.75$$
$$x_{5} = 58.25$$
$$x_{6} = 7.91498615753$$
$$x_{7} = 51.9263922831$$
$$x_{8} = 28.2637461685$$
$$x_{9} = 12.5348298194$$
$$x_{10} = 31.4066897354$$
$$x_{11} = 17.260331065$$
$$x_{12} = 43.9762872787$$
$$x_{13} = 25.1203931449$$
$$x_{14} = 65.9698272808$$
$$x_{15} = 95.9202763466$$
$$x_{16} = 18.8314682764$$
$$x_{17} = -73.75$$
$$x_{18} = 81.6786282415$$
$$x_{19} = 87.9620549318$$
$$x_{20} = 56.5442848565$$
$$x_{21} = 69.1116223647$$
$$x_{22} = 6.19490264817$$
$$x_{23} = 50.2604032891$$
$$x_{24} = 72.2533974925$$
$$x_{25} = 94.2454455116$$
$$x_{26} = 100.528807339$$
$$x_{27} = 14.1975995689$$
$$x_{28} = 62.8280089055$$
$$x_{29} = 21.9764235074$$
$$x_{30} = 86.307032562$$
$$x_{31} = 75.3951554006$$
$$x_{32} = 37.6918020442$$
Зн. экстремумы в точках:

(42.3255438562, 1.13038110624771e-19)

(34.5493485837, 0.0289406834537548)

(80, 5.75273078655839e-18)

(-29.75, -2.67781238262609e-17 - 3.060537765343e-16*I)

(58.25, 2.7419972920458e-14)

(7.91498615753, 1.83342065156954e-15)

(51.9263922831, 8.67660976674011e-20)

(28.2637461685, 0.0353743876627154)

(12.5348298194, 12.5506114507811)

(31.4066897354, 31.4113085080586)

(17.260331065, 7.40204966706083e-68)

(43.9762872787, 43.9792923261958)

(25.1203931449, 25.1265680240404)

(65.9698272808, 0.015158029307747)

(95.9202763466, 3.01046409028504e-20)

(18.8314682764, 18.8405145176399)

(-73.75, -6.95001400803162e-25 - 1.59379752903047e-25*I)

(81.6786282415, 81.6800186301256)

(87.9620549318, 87.9633246259875)

(56.5442848565, 56.5464763565305)

(69.1116223647, 69.1133303945904)

(6.19490264817, 6.23923051154113)

(50.2604032891, 50.2629429429057)

(72.2533974925, 0.0138398699375617)

(94.2454455116, 94.2466125674273)

(100.528807339, 100.529886133301)

(14.1975995689, 8.36148120154746e-20)

(62.8280089055, 62.8299310204376)

(21.9764235074, 0.0454880672492831)

(86.307032562, 4.55414968535767e-23)

(75.3951554006, 75.3966895601803)

(37.6918020442, 37.6954571371195)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{32} = 12.5348298194$$
$$x_{32} = 31.4066897354$$
$$x_{32} = 43.9762872787$$
$$x_{32} = 25.1203931449$$
$$x_{32} = 18.8314682764$$
$$x_{32} = 81.6786282415$$
$$x_{32} = 87.9620549318$$
$$x_{32} = 56.5442848565$$
$$x_{32} = 69.1116223647$$
$$x_{32} = 6.19490264817$$
$$x_{32} = 50.2604032891$$
$$x_{32} = 94.2454455116$$
$$x_{32} = 100.528807339$$
$$x_{32} = 62.8280089055$$
$$x_{32} = 75.3951554006$$
$$x_{32} = 37.6918020442$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{32} = 34.5493485837$$
$$x_{32} = 28.2637461685$$
$$x_{32} = 65.9698272808$$
$$x_{32} = 72.2533974925$$
$$x_{32} = 21.9764235074$$
Убывает на промежутках

[100.528807339, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 6.19490264817]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \frac{1}{x}\right)^{2} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 40.2621431576$$
$$x_{2} = 86.3054060544$$
$$x_{3} = 1.79814427005$$
$$x_{4} = 28.8716218689$$
$$x_{5} = 16.365215849$$
$$x_{6} = 4.68903611577$$
$$x_{7} = 42.3231926352$$
$$x_{8} = 15.0066653914$$
$$x_{9} = 66.5034870131$$
$$x_{10} = 64.4961176042$$
$$x_{11} = 7.91805922451$$
$$x_{12} = 84.3042399627$$
$$x_{13} = 51.9287369602$$
$$x_{14} = 71.7263630495$$
$$x_{15} = 23.4991508789$$
$$x_{16} = 67.5407159158$$
$$x_{17} = 27.6565161287$$
$$x_{18} = 10.1452150682$$
$$x_{19} = 72.7805387014$$
$$x_{20} = 60.2272670155$$
$$x_{21} = 78.0156277463$$
$$x_{22} = 59.1452107238$$
$$x_{23} = 14.1992679374$$
$$x_{24} = 33.9620821796$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

$$\lim_{x \to 1.5707963267949^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \frac{1}{x}\right)^{2} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 7.33347345835782 \cdot 10^{3202880653698729}$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \frac{1}{x}\right)^{2} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 7.33347345835782 \cdot 10^{3202880653698729}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \frac{1}{x}\right)^{2} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 2.65440379246359 \cdot 10^{-3664954021674060}$$
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \frac{1}{x}\right)^{2} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 2.65440379246359 \cdot 10^{-3664954021674060}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[72.7805387014, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 10.1452150682]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}} = \left(- x\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}$$
- Нет
$$x^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}} = - \left(- x\right)^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной