График функции y = x^sqrt(2)

Вы ввели

          ___
        \/ 2 
f(x) = x     

$$f{\left(x \right)} = x^{\sqrt{2}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{\sqrt{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(sqrt(2)).
$$0^{\sqrt{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\sqrt{2} x^{\sqrt{2}}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x^{\sqrt{2}} \cdot \left(2 - \sqrt{2}\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\sqrt{2}} = \infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{\sqrt{2}} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{\sqrt{2}} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\sqrt{2}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(sqrt(2)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\sqrt{2}}}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{-1 + \sqrt{2}} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{-1 + \sqrt{2}} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\sqrt{2}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{\sqrt{2}} = \left(- x\right)^{\sqrt{2}}$$
- Нет
$$x^{\sqrt{2}} = - \left(- x\right)^{\sqrt{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График