График функции y = (x^-5)/x-3

Вы ввели

        1      
f(x) = ---- - 3
        5      
       x *x    

$$f{\left (x \right )} = -3 + \frac{1}{x^{6}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$-3 + \frac{1}{x^{6}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{3^{\frac{5}{6}}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{5}{6}}}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.832683177656$$
$$x_{2} = -0.832683177656$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(x^5*x) - 3.
$$-3 + \frac{1}{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{6}{x^{7}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{42}{x^{8}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(-3 + \frac{1}{x^{6}}\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(-3 + \frac{1}{x^{6}}\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -3$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(x^5*x) - 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(-3 + \frac{1}{x^{6}}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(-3 + \frac{1}{x^{6}}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$-3 + \frac{1}{x^{6}} = -3 + \frac{1}{x^{6}}$$
- Нет
$$-3 + \frac{1}{x^{6}} = 3 - \frac{1}{x^{6}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной