График функции y = x^(1/pi)-1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          1     
        1*--    
          pi    
f(x) = x     - 1
f(x)=x11π1f{\left(x \right)} = x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1
График функции
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x11π1=0x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
x2=1x_{2} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/pi) - 1*1.
(1)1+011π\left(-1\right) 1 + 0^{1 \cdot \frac{1}{\pi}}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = -1
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
x1ππx=0\frac{x^{\frac{1}{\pi}}}{\pi x} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
x1π(1+1π)πx2=0\frac{x^{\frac{1}{\pi}} \left(-1 + \frac{1}{\pi}\right)}{\pi x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x11π1)=sign((1)1π)\lim_{x \to -\infty}\left(x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{\frac{1}{\pi}} \right)}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=sign((1)1π)y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{\frac{1}{\pi}} \right)}
limx(x11π1)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/pi) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x11π1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(x11π1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x11π1=(x)11π1x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1 = \left(- x\right)^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1
- Нет
x11π1=1(x)11πx^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1 = 1 - \left(- x\right)^{1 \cdot \frac{1}{\pi}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^(1/pi)-1 /media/krcore-image-pods/hash/xy/7/91/d031dbeb9bccbc65c4a0a59d932fc.png