График функции y = x^(1/pi)-1

Вы ввели

          1     
        1*--    
          pi    
f(x) = x     - 1

$$f{\left(x \right)} = x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/pi) - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 + 0^{1 \cdot \frac{1}{\pi}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x^{\frac{1}{\pi}}}{\pi x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x^{\frac{1}{\pi}} \left(-1 + \frac{1}{\pi}\right)}{\pi x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{\frac{1}{\pi}} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left(-1\right)^{\frac{1}{\pi}} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/pi) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1 = \left(- x\right)^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1$$
- Нет
$$x^{1 \cdot \frac{1}{\pi}} - 1 = 1 - \left(- x\right)^{1 \cdot \frac{1}{\pi}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График