График функции y = x^(1/factorial(x))

Вы ввели

        1 
        --
        x!
f(x) = x  

$$f{\left (x \right )} = x^{\frac{1}{x!}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{\frac{1}{x!}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/factorial(x)).
$$0^{\frac{1}{0!}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{\frac{1}{x!}} \left(- \frac{1}{x!^{2}} \log{\left (x \right )} \Gamma{\left(x + 1 \right)} \operatorname{polygamma}{\left (0,x + 1 \right )} + \frac{1}{x x!}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1.86025718142$$
Зн. экстремумы в точках:

(1.86025718142, 1.42146711910167)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1.86025718142$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1.86025718142]

Возрастает на промежутках

[1.86025718142, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{x!}} = \left(-1\right)^{\frac{1}{\left(-\infty\right)!}} \infty^{\frac{1}{\left(-\infty\right)!}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left(-1\right)^{\frac{1}{\left(-\infty\right)!}} \infty^{\frac{1}{\left(-\infty\right)!}}$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x!}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/factorial(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x!}}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x!}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{\frac{1}{x!}} = \left(- x\right)^{\frac{1}{\left(- x\right)!}}$$
- Нет
$$x^{\frac{1}{x!}} = - \left(- x\right)^{\frac{1}{\left(- x\right)!}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной