График функции y = x^(1/x)

Вы ввели

       x ___
f(x) = \/ x 

$$f{\left (x \right )} = x^{\frac{1}{x}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{\frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/x).
$$0^{\frac{1}{0}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0^{\tilde{\infty}}$$
Точка:

(0, 0^±oo)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e$$
Зн. экстремумы в точках:

     / -1\ 
     \e  / 
(E, e     )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e$$
Убывает на промежутках

(-oo, E]

Возрастает на промежутках

[E, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 \log{\left (x \right )} - 3 + \frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4.36777096706$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 \log{\left (x \right )} - 3 + \frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 \log{\left (x \right )} - 3 + \frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}\right)\right) = 0$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[4.36777096706, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 4.36777096706]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{\frac{1}{x}} = \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$x^{\frac{1}{x}} = - \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной