График функции y = x^5-4*x

Вы ввели

        5      
f(x) = x  - 4*x

$$f{\left (x \right )} = x^{5} - 4 x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} - 4 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.41421356237$$
$$x_{3} = -1.41421356237$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^5 - 4*x.
$$0^{5} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$5 x^{4} - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{5} 5^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{5} 5^{\frac{3}{4}}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ___  3/4        ___  3/4 
 -\/ 2 *5      16*\/ 2 *5    
(------------, -------------)
      5              25      

   ___  3/4        ___  3/4 
 \/ 2 *5     -16*\/ 2 *5    
(----------, --------------)
     5             25       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{5} 5^{\frac{3}{4}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{5} 5^{\frac{3}{4}}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(2)*5**(3/4)/5] U [sqrt(2)*5**(3/4)/5, oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(2)*5**(3/4)/5, sqrt(2)*5**(3/4)/5]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$20 x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - 4 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - 4 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5 - 4*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{5} - 4 x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{5} - 4 x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{5} - 4 x = - x^{5} + 4 x$$
- Нет
$$x^{5} - 4 x = - -1 x^{5} - 4 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной