График функции y = x^5-x^2

Вы ввели

        5    2
f(x) = x  - x 

$$f{\left (x \right )} = x^{5} - x^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} - x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^5 - x^2.
$$0^{5} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$5 x^{4} - 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{5} 5^{\frac{2}{3}}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 3 ___  2/3      2/3 3 ___ 
 \/ 2 *5     -3*2   *\/ 5  
(----------, -------------)
     5             25      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{5} 5^{\frac{2}{3}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [2**(1/3)*5**(2/3)/5, oo)

Возрастает на промежутках

[0, 2**(1/3)*5**(2/3)/5]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(10 x^{3} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{10^{\frac{2}{3}}}{10}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[10**(2/3)/10, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 10**(2/3)/10]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5 - x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{5} - x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{5} - x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{5} - x^{2} = - x^{5} - x^{2}$$
- Нет
$$x^{5} - x^{2} = - -1 x^{5} - - x^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной