График функции y = x^5-x^3

Вы ввели

        5    3
f(x) = x  - x 

$$f{\left(x \right)} = x^{5} - x^{3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} - x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^5 - x^3.
$$0^{5} - 0^{3}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$5 x^{4} - 3 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

    ____       ____ 
 -\/ 15    6*\/ 15  
(--------, --------)
    5        125    

   ____       ____ 
 \/ 15   -6*\/ 15  
(------, ---------)
   5        125    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{\sqrt{15}}{5}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 x \left(10 x^{2} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{30}}{10}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{10}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{10}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{10}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{30}}{10}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - x^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - x^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5 - x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} - x^{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} - x^{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{5} - x^{3} = - x^{5} + x^{3}$$
- Нет
$$x^{5} - x^{3} = x^{5} - x^{3}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График