График функции y = x^5*e^x

Вы ввели

        5  x
f(x) = x *E 

$$f{\left(x \right)} = e^{x} x^{5}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x} x^{5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -67.0140624380037$$
$$x_{2} = -55.7053138027862$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = -117.912691620425$$
$$x_{5} = -110.002137787397$$
$$x_{6} = -100.138144200895$$
$$x_{7} = -90.3113180352068$$
$$x_{8} = -115.933700055035$$
$$x_{9} = -82.4881017429899$$
$$x_{10} = -57.5607081773421$$
$$x_{11} = -48.4824588083384$$
$$x_{12} = -80.5392889805181$$
$$x_{13} = -46.7486890118024$$
$$x_{14} = -111.978366295904$$
$$x_{15} = -78.5938206116598$$
$$x_{16} = -106.052879934533$$
$$x_{17} = -50.2506338869203$$
$$x_{18} = -61.3116844143123$$
$$x_{19} = -70.852928212213$$
$$x_{20} = -121.873072311935$$
$$x_{21} = -65.10486557711$$
$$x_{22} = -119.89249785946$$
$$x_{23} = -102.10838811719$$
$$x_{24} = -76.6520353100444$$
$$x_{25} = -96.2021656600697$$
$$x_{26} = -94.2366645482349$$
$$x_{27} = -108.026952287924$$
$$x_{28} = -52.0468879719824$$
$$x_{29} = -104.079997294078$$
$$x_{30} = -92.272998566361$$
$$x_{31} = -74.714319096109$$
$$x_{32} = -88.3517901497362$$
$$x_{33} = -59.4301507848393$$
$$x_{34} = -98.1693663786158$$
$$x_{35} = -84.4399605227193$$
$$x_{36} = -72.78111392386$$
$$x_{37} = -86.3946014159142$$
$$x_{38} = -63.203700759395$$
$$x_{39} = -113.955573445251$$
$$x_{40} = -68.9303498571571$$
$$x_{41} = -53.8663749209093$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^5*E^x.
$$0^{5} e^{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

            -5 
(-5, -3125*e  )

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -5$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -5\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$x^{3} \left(x^{2} + 10 x + 20\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -5 - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = -5 + \sqrt{5}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-5 - \sqrt{5}, -5 + \sqrt{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -5 - \sqrt{5}\right] \cup \left[-5 + \sqrt{5}, 0\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} x^{5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} x^{5}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5*E^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} e^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x} x^{5} = - x^{5} e^{- x}$$
- Нет
$$e^{x} x^{5} = x^{5} e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График