Графики функций/ Построение в 2D/ y = x^5*e^x

График функции y = x^5*e^x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        5  x
f(x) = x *E
f(x)=exx5f{\left(x \right)} = e^{x} x^{5}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-25000000002500000000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
exx5=0e^{x} x^{5} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=−67.0140624380037x_{1} = -67.0140624380037
x2=−55.7053138027862x_{2} = -55.7053138027862
x3=0x_{3} = 0
x4=−117.912691620425x_{4} = -117.912691620425
x5=−110.002137787397x_{5} = -110.002137787397
x6=−100.138144200895x_{6} = -100.138144200895
x7=−90.3113180352068x_{7} = -90.3113180352068
x8=−115.933700055035x_{8} = -115.933700055035
x9=−82.4881017429899x_{9} = -82.4881017429899
x10=−57.5607081773421x_{10} = -57.5607081773421
x11=−48.4824588083384x_{11} = -48.4824588083384
x12=−80.5392889805181x_{12} = -80.5392889805181
x13=−46.7486890118024x_{13} = -46.7486890118024
x14=−111.978366295904x_{14} = -111.978366295904
x15=−78.5938206116598x_{15} = -78.5938206116598
x16=−106.052879934533x_{16} = -106.052879934533
x17=−50.2506338869203x_{17} = -50.2506338869203
x18=−61.3116844143123x_{18} = -61.3116844143123
x19=−70.852928212213x_{19} = -70.852928212213
x20=−121.873072311935x_{20} = -121.873072311935
x21=−65.10486557711x_{21} = -65.10486557711
x22=−119.89249785946x_{22} = -119.89249785946
x23=−102.10838811719x_{23} = -102.10838811719
x24=−76.6520353100444x_{24} = -76.6520353100444
x25=−96.2021656600697x_{25} = -96.2021656600697
x26=−94.2366645482349x_{26} = -94.2366645482349
x27=−108.026952287924x_{27} = -108.026952287924
x28=−52.0468879719824x_{28} = -52.0468879719824
x29=−104.079997294078x_{29} = -104.079997294078
x30=−92.272998566361x_{30} = -92.272998566361
x31=−74.714319096109x_{31} = -74.714319096109
x32=−88.3517901497362x_{32} = -88.3517901497362
x33=−59.4301507848393x_{33} = -59.4301507848393
x34=−98.1693663786158x_{34} = -98.1693663786158
x35=−84.4399605227193x_{35} = -84.4399605227193
x36=−72.78111392386x_{36} = -72.78111392386
x37=−86.3946014159142x_{37} = -86.3946014159142
x38=−63.203700759395x_{38} = -63.203700759395
x39=−113.955573445251x_{39} = -113.955573445251
x40=−68.9303498571571x_{40} = -68.9303498571571
x41=−53.8663749209093x_{41} = -53.8663749209093
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^5*E^x.
05e00^{5} e^{0}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
x5ex+5x4ex=0x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−5x_{1} = -5
x2=0x_{2} = 0
Зн. экстремумы в точках:
            -5 
(-5, -3125*e  )

(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=−5x_{1} = -5
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[−5,∞)\left[-5, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(−∞,−5]\left(-\infty, -5\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
x3(x2+10x+20)ex=0x^{3} \left(x^{2} + 10 x + 20\right) e^{x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=−5−5x_{2} = -5 - \sqrt{5}
x3=−5+5x_{3} = -5 + \sqrt{5}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[−5−5,−5+5]∪[0,∞)\left[-5 - \sqrt{5}, -5 + \sqrt{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(−∞,−5−5]∪[−5+5,0]\left(-\infty, -5 - \sqrt{5}\right] \cup \left[-5 + \sqrt{5}, 0\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(exx5)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} x^{5}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exx5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} x^{5}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5*E^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(x4ex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} e^{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(x4ex)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} e^{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
exx5=−x5e−xe^{x} x^{5} = - x^{5} e^{- x}
- Нет
exx5=x5e−xe^{x} x^{5} = x^{5} e^{- x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^5*e^x /media/krcore-image-pods/7/6f/6832e37270369344676a344995f69.png