График функции y = x^sin(x)

Вы ввели

        sin(x)
f(x) = x      

$$f{\left (x \right )} = x^{\sin{\left (x \right )}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^sin(x).
$$0^{\sin{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{\sin{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 98.9623678062$$
$$x_{2} = 20.4365678012$$
$$x_{3} = 4.84255834039$$
$$x_{4} = 54.9824103571$$
$$x_{5} = 80.1134602593$$
$$x_{6} = 7.91497769383$$
$$x_{7} = 64.4063770212$$
$$x_{8} = 42.4177914907$$
$$x_{9} = 95.8208633136$$
$$x_{10} = 17.2990352355$$
$$x_{11} = 14.1637961865$$
$$x_{12} = 73.83057594$$
$$x_{13} = 2.12761582523$$
$$x_{14} = 58.1236989892$$
$$x_{15} = 67.5477561419$$
$$x_{16} = 11.0333063656$$
$$x_{17} = 36.1360296012$$
$$x_{18} = 51.8411644568$$
$$x_{19} = 29.8549920107$$
$$x_{20} = 92.6793655994$$
$$x_{21} = 23.5753663871$$
$$x_{22} = 86.3963937736$$
$$x_{23} = 48.6999705881$$
$$x_{24} = 61.2650231149$$
Зн. экстремумы в точках:

(98.9623678062, 0.0101049634683701)

(20.4365678012, 20.4284625207866)

(4.84255834039, 0.20927672163936)

(54.9824103571, 0.0181883855237675)

(80.1134602593, 0.0124825187816151)

(7.91497769383, 7.88458543944443)

(64.4063770212, 64.4045132476644)

(42.4177914907, 0.0235767614876483)

(95.8208633136, 95.8197196333544)

(17.2990352355, 0.0578405726994447)

(14.1637961865, 14.1504917503218)

(73.83057594, 0.0135448127069285)

(2.12761582523, 1.89828645583168)

(58.1236989892, 58.1215815946803)

(67.5477561419, 0.0148047258593485)

(11.0333063656, 0.0907896808608641)

(36.1360296012, 0.027676165611995)

(51.8411644568, 51.8387217023526)

(29.8549920107, 0.0335007682559013)

(92.6793655994, 0.0107900269500121)

(23.5753663871, 0.0424292311448489)

(86.3963937736, 0.0115747310623687)

(48.6999705881, 0.0205350073933752)

(61.2650231149, 0.0163230554736959)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{24} = 98.9623678062$$
$$x_{24} = 4.84255834039$$
$$x_{24} = 54.9824103571$$
$$x_{24} = 80.1134602593$$
$$x_{24} = 42.4177914907$$
$$x_{24} = 17.2990352355$$
$$x_{24} = 73.83057594$$
$$x_{24} = 67.5477561419$$
$$x_{24} = 11.0333063656$$
$$x_{24} = 36.1360296012$$
$$x_{24} = 29.8549920107$$
$$x_{24} = 92.6793655994$$
$$x_{24} = 23.5753663871$$
$$x_{24} = 86.3963937736$$
$$x_{24} = 48.6999705881$$
$$x_{24} = 61.2650231149$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{24} = 20.4365678012$$
$$x_{24} = 7.91497769383$$
$$x_{24} = 64.4063770212$$
$$x_{24} = 95.8208633136$$
$$x_{24} = 14.1637961865$$
$$x_{24} = 2.12761582523$$
$$x_{24} = 58.1236989892$$
$$x_{24} = 51.8411644568$$
Убывает на промежутках

[98.9623678062, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 4.84255834039]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x^{\sin{\left (x \right )}} \left(\left(\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right)^{2} - \log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )} + \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 96.2800949148$$
$$x_{2} = 1.39528866601$$
$$x_{3} = 90.000417703$$
$$x_{4} = 26.1784451308$$
$$x_{5} = 19.8785339066$$
$$x_{6} = 8.57614575589$$
$$x_{7} = 46.0587946543$$
$$x_{8} = 52.3332686429$$
$$x_{9} = 70.2145522644$$
$$x_{10} = 63.9267424399$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[96.2800949148, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 8.57614575589]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\sin{\left (x \right )}} = \left(-\infty\right)^{\langle -1, 1\rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left(-\infty\right)^{\langle -1, 1\rangle}$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\sin{\left (x \right )}} = \infty^{\langle -1, 1\rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty^{\langle -1, 1\rangle}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} x^{\sin{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} x^{\sin{\left (x \right )}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{\sin{\left (x \right )}} = \left(- x\right)^{- \sin{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$x^{\sin{\left (x \right )}} = - \left(- x\right)^{- \sin{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной