График функции y = x^sin(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        sin(x)
f(x) = x      
f(x)=xsin(x)f{\left (x \right )} = x^{\sin{\left (x \right )}}
График функции
100200300400500600700800900100001000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
xsin(x)=0x^{\sin{\left (x \right )}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^sin(x).
0sin(0)0^{\sin{\left (0 \right )}}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
xsin(x)(log(x)cos(x)+1xsin(x))=0x^{\sin{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=98.9623678062x_{1} = 98.9623678062
x2=20.4365678012x_{2} = 20.4365678012
x3=4.84255834039x_{3} = 4.84255834039
x4=54.9824103571x_{4} = 54.9824103571
x5=80.1134602593x_{5} = 80.1134602593
x6=7.91497769383x_{6} = 7.91497769383
x7=64.4063770212x_{7} = 64.4063770212
x8=42.4177914907x_{8} = 42.4177914907
x9=95.8208633136x_{9} = 95.8208633136
x10=17.2990352355x_{10} = 17.2990352355
x11=14.1637961865x_{11} = 14.1637961865
x12=73.83057594x_{12} = 73.83057594
x13=2.12761582523x_{13} = 2.12761582523
x14=58.1236989892x_{14} = 58.1236989892
x15=67.5477561419x_{15} = 67.5477561419
x16=11.0333063656x_{16} = 11.0333063656
x17=36.1360296012x_{17} = 36.1360296012
x18=51.8411644568x_{18} = 51.8411644568
x19=29.8549920107x_{19} = 29.8549920107
x20=92.6793655994x_{20} = 92.6793655994
x21=23.5753663871x_{21} = 23.5753663871
x22=86.3963937736x_{22} = 86.3963937736
x23=48.6999705881x_{23} = 48.6999705881
x24=61.2650231149x_{24} = 61.2650231149
Зн. экстремумы в точках:
(98.9623678062, 0.0101049634683701)

(20.4365678012, 20.4284625207866)

(4.84255834039, 0.20927672163936)

(54.9824103571, 0.0181883855237675)

(80.1134602593, 0.0124825187816151)

(7.91497769383, 7.88458543944443)

(64.4063770212, 64.4045132476644)

(42.4177914907, 0.0235767614876483)

(95.8208633136, 95.8197196333544)

(17.2990352355, 0.0578405726994447)

(14.1637961865, 14.1504917503218)

(73.83057594, 0.0135448127069285)

(2.12761582523, 1.89828645583168)

(58.1236989892, 58.1215815946803)

(67.5477561419, 0.0148047258593485)

(11.0333063656, 0.0907896808608641)

(36.1360296012, 0.027676165611995)

(51.8411644568, 51.8387217023526)

(29.8549920107, 0.0335007682559013)

(92.6793655994, 0.0107900269500121)

(23.5753663871, 0.0424292311448489)

(86.3963937736, 0.0115747310623687)

(48.6999705881, 0.0205350073933752)

(61.2650231149, 0.0163230554736959)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x24=98.9623678062x_{24} = 98.9623678062
x24=4.84255834039x_{24} = 4.84255834039
x24=54.9824103571x_{24} = 54.9824103571
x24=80.1134602593x_{24} = 80.1134602593
x24=42.4177914907x_{24} = 42.4177914907
x24=17.2990352355x_{24} = 17.2990352355
x24=73.83057594x_{24} = 73.83057594
x24=67.5477561419x_{24} = 67.5477561419
x24=11.0333063656x_{24} = 11.0333063656
x24=36.1360296012x_{24} = 36.1360296012
x24=29.8549920107x_{24} = 29.8549920107
x24=92.6793655994x_{24} = 92.6793655994
x24=23.5753663871x_{24} = 23.5753663871
x24=86.3963937736x_{24} = 86.3963937736
x24=48.6999705881x_{24} = 48.6999705881
x24=61.2650231149x_{24} = 61.2650231149
Максимумы функции в точках:
x24=20.4365678012x_{24} = 20.4365678012
x24=7.91497769383x_{24} = 7.91497769383
x24=64.4063770212x_{24} = 64.4063770212
x24=95.8208633136x_{24} = 95.8208633136
x24=14.1637961865x_{24} = 14.1637961865
x24=2.12761582523x_{24} = 2.12761582523
x24=58.1236989892x_{24} = 58.1236989892
x24=51.8411644568x_{24} = 51.8411644568
Убывает на промежутках
[98.9623678062, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 4.84255834039]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
xsin(x)((log(x)cos(x)+1xsin(x))2log(x)sin(x)+2xcos(x)1x2sin(x))=0x^{\sin{\left (x \right )}} \left(\left(\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right)^{2} - \log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )} + \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=96.2800949148x_{1} = 96.2800949148
x2=1.39528866601x_{2} = 1.39528866601
x3=90.000417703x_{3} = 90.000417703
x4=26.1784451308x_{4} = 26.1784451308
x5=19.8785339066x_{5} = 19.8785339066
x6=8.57614575589x_{6} = 8.57614575589
x7=46.0587946543x_{7} = 46.0587946543
x8=52.3332686429x_{8} = 52.3332686429
x9=70.2145522644x_{9} = 70.2145522644
x10=63.9267424399x_{10} = 63.9267424399

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[96.2800949148, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 8.57614575589]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxxsin(x)=()1,1\lim_{x \to -\infty} x^{\sin{\left (x \right )}} = \left(-\infty\right)^{\langle -1, 1\rangle}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=()1,1y = \left(-\infty\right)^{\langle -1, 1\rangle}
limxxsin(x)=1,1\lim_{x \to \infty} x^{\sin{\left (x \right )}} = \infty^{\langle -1, 1\rangle}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \infty^{\langle -1, 1\rangle}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xxsin(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} x^{\sin{\left (x \right )}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(1xxsin(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} x^{\sin{\left (x \right )}}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
xsin(x)=(x)sin(x)x^{\sin{\left (x \right )}} = \left(- x\right)^{- \sin{\left (x \right )}}
- Нет
xsin(x)=(x)sin(x)x^{\sin{\left (x \right )}} = - \left(- x\right)^{- \sin{\left (x \right )}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной