График функции y = x^sin(x)^(-1)

Вы ввели

          1   
        ------
        sin(x)
f(x) = x      

$$f{\left (x \right )} = x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/sin(x)).
$$0^{\frac{1}{\sin{\left (0 \right )}}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0^{\tilde{\infty}}$$
Точка:

(0, 0^±oo)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}} \left(- \frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{x \sin{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 66$$
$$x_{2} = 100.406073804$$
$$x_{3} = 86.3912019829$$
$$x_{4} = 29.8352599645$$
$$x_{5} = 12.477904306$$
$$x_{6} = 45.5473442341$$
$$x_{7} = 80.1077648251$$
$$x_{8} = 6.2589118352$$
$$x_{9} = 51.8313919572$$
$$x_{10} = 76.9660286206$$
$$x_{11} = 22$$
$$x_{12} = 59.8139277189$$
$$x_{13} = -44$$
$$x_{14} = -88$$
$$x_{15} = 4.56933246205$$
$$x_{16} = 7.79154865048$$
$$x_{17} = 25.0241840372$$
$$x_{18} = -37.75$$
$$x_{19} = 73.8242784477$$
$$x_{20} = 32.9780490042$$
$$x_{21} = 26.6921312239$$
$$x_{22} = 14.1103988467$$
$$x_{23} = 15.8018821094$$
$$x_{24} = 20.4041023383$$
$$x_{25} = 56.4301218896$$
$$x_{26} = 42.4052077913$$
$$x_{27} = 70.6825122397$$
$$x_{28} = 83.2494887924$$
$$x_{29} = 64.3989212408$$
$$x_{30} = 89.5329056365$$
$$x_{31} = 36.1205972167$$
$$x_{32} = 50.25$$
$$x_{33} = 58.1152284245$$
$$x_{34} = 95.8162884222$$
$$x_{35} = 39.2629689527$$
Зн. экстремумы в точках:

(66, 2.95291162393481e-69)

(100.406073804, 8.51559366445445e-17)

(86.3912019829, 0.0115750788567276)

(29.8352599645, 0.0335118447473236)

(12.477904306, 3.92035065123882e-13)

(45.5473442341, 45.5502189541894)

(80.1077648251, 0.0124829625101173)

(6.2589118352, 1.52484437442468e-33)

(51.8313919572, 51.8338354331701)

(76.9660286206, 76.9675243324)

(22, 2.16899662720143e-152)

(59.8139277189, 3.94196165690417e-15)

(-44, 4.06911553765573e-95 - 1.44374825005139e-93*I)

(-88, 8.28020962121587e-56 - 8.27719394410315e-56*I)

(4.56933246205, 0.215445379574359)

(7.79154865048, 7.82283794408322)

(25.0241840372, 1.23978051230931e-13)

(-37.75, 4.78752662329145e-32 + 8.7460866311899e-32*I)

(73.8242784477, 0.0135453904076375)

(32.9780490042, 32.9823862458165)

(26.6921312239, 26.6978350608714)

(14.1103988467, 14.1237900434614)

(15.8018821094, 1.65187056356926e-13)

(20.4041023383, 20.4122290900788)

(56.4301218896, 1.55015042738026e-15)

(42.4052077913, 0.023580259440244)

(70.6825122397, 70.684173493788)

(83.2494887924, 83.2508470681976)

(64.3989212408, 64.4007853488228)

(89.5329056365, 89.5341481411884)

(36.1205972167, 0.0276820773056786)

(50.25, 1.31990323279526e-110)

(58.1152284245, 58.117346299689)

(95.8162884222, 95.8174321856908)

(39.2629689527, 39.2664387285027)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{35} = 45.5473442341$$
$$x_{35} = 51.8313919572$$
$$x_{35} = 76.9660286206$$
$$x_{35} = 7.79154865048$$
$$x_{35} = 32.9780490042$$
$$x_{35} = 26.6921312239$$
$$x_{35} = 14.1103988467$$
$$x_{35} = 20.4041023383$$
$$x_{35} = 70.6825122397$$
$$x_{35} = 83.2494887924$$
$$x_{35} = 64.3989212408$$
$$x_{35} = 89.5329056365$$
$$x_{35} = 58.1152284245$$
$$x_{35} = 95.8162884222$$
$$x_{35} = 39.2629689527$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{35} = 86.3912019829$$
$$x_{35} = 29.8352599645$$
$$x_{35} = 80.1077648251$$
$$x_{35} = 4.56933246205$$
$$x_{35} = 73.8242784477$$
$$x_{35} = 42.4052077913$$
$$x_{35} = 36.1205972167$$
Убывает на промежутках

[95.8162884222, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 7.79154865048]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x}\right)^{2} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1.38488717836$$
$$x_{2} = 41.8365554526$$
$$x_{3} = 66$$
$$x_{4} = -37.75$$
$$x_{5} = -88$$
$$x_{6} = 92.1642591727$$
$$x_{7} = 30.4375079183$$
$$x_{8} = 24.1765054912$$
$$x_{9} = 85.8763051143$$
$$x_{10} = 36.7040754678$$
$$x_{11} = 3.65243031679$$
$$x_{12} = 6.25056912344$$
$$x_{13} = 48.1324150121$$
$$x_{14} = 10.2243642972$$
$$x_{15} = 22$$
$$x_{16} = 17.9254154332$$
$$x_{17} = 74.3499116523$$
$$x_{18} = 98.4517815142$$
$$x_{19} = 68.0726791257$$
$$x_{20} = -44$$
$$x_{21} = 50.25$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x}\right)^{2} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x}\right)^{2} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 0$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x}\right)^{2} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 2.26000424506132 \cdot 10^{4059536782689317}$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x}\right)^{2} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 2.26000424506132 \cdot 10^{4059536782689317}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[74.3499116523, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1.38488717836]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}} = \left(- x\right)^{- \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}$$
- Нет
$$x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}} = - \left(- x\right)^{- \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной