График функции y = x^sin(x)^(-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          1   
        ------
        sin(x)
f(x) = x      
f(x)=x1sin(x)f{\left (x \right )} = x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}
График функции
2004006008001000120014001600180005e75
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/sin(x)).
01sin(0)0^{\frac{1}{\sin{\left (0 \right )}}}
Результат:
f(0)=0~f{\left (0 \right )} = 0^{\tilde{\infty}}
Точка:
(0, 0^±oo)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x1sin(x)(log(x)cos(x)sin2(x)+1xsin(x))=0x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}} \left(- \frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{x \sin{\left (x \right )}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=66x_{1} = 66
x2=100.406073804x_{2} = 100.406073804
x3=86.3912019829x_{3} = 86.3912019829
x4=29.8352599645x_{4} = 29.8352599645
x5=12.477904306x_{5} = 12.477904306
x6=45.5473442341x_{6} = 45.5473442341
x7=80.1077648251x_{7} = 80.1077648251
x8=6.2589118352x_{8} = 6.2589118352
x9=51.8313919572x_{9} = 51.8313919572
x10=76.9660286206x_{10} = 76.9660286206
x11=22x_{11} = 22
x12=59.8139277189x_{12} = 59.8139277189
x13=44x_{13} = -44
x14=88x_{14} = -88
x15=4.56933246205x_{15} = 4.56933246205
x16=7.79154865048x_{16} = 7.79154865048
x17=25.0241840372x_{17} = 25.0241840372
x18=37.75x_{18} = -37.75
x19=73.8242784477x_{19} = 73.8242784477
x20=32.9780490042x_{20} = 32.9780490042
x21=26.6921312239x_{21} = 26.6921312239
x22=14.1103988467x_{22} = 14.1103988467
x23=15.8018821094x_{23} = 15.8018821094
x24=20.4041023383x_{24} = 20.4041023383
x25=56.4301218896x_{25} = 56.4301218896
x26=42.4052077913x_{26} = 42.4052077913
x27=70.6825122397x_{27} = 70.6825122397
x28=83.2494887924x_{28} = 83.2494887924
x29=64.3989212408x_{29} = 64.3989212408
x30=89.5329056365x_{30} = 89.5329056365
x31=36.1205972167x_{31} = 36.1205972167
x32=50.25x_{32} = 50.25
x33=58.1152284245x_{33} = 58.1152284245
x34=95.8162884222x_{34} = 95.8162884222
x35=39.2629689527x_{35} = 39.2629689527
Зн. экстремумы в точках:
(66, 2.95291162393481e-69)

(100.406073804, 8.51559366445445e-17)

(86.3912019829, 0.0115750788567276)

(29.8352599645, 0.0335118447473236)

(12.477904306, 3.92035065123882e-13)

(45.5473442341, 45.5502189541894)

(80.1077648251, 0.0124829625101173)

(6.2589118352, 1.52484437442468e-33)

(51.8313919572, 51.8338354331701)

(76.9660286206, 76.9675243324)

(22, 2.16899662720143e-152)

(59.8139277189, 3.94196165690417e-15)

(-44, 4.06911553765573e-95 - 1.44374825005139e-93*I)

(-88, 8.28020962121587e-56 - 8.27719394410315e-56*I)

(4.56933246205, 0.215445379574359)

(7.79154865048, 7.82283794408322)

(25.0241840372, 1.23978051230931e-13)

(-37.75, 4.78752662329145e-32 + 8.7460866311899e-32*I)

(73.8242784477, 0.0135453904076375)

(32.9780490042, 32.9823862458165)

(26.6921312239, 26.6978350608714)

(14.1103988467, 14.1237900434614)

(15.8018821094, 1.65187056356926e-13)

(20.4041023383, 20.4122290900788)

(56.4301218896, 1.55015042738026e-15)

(42.4052077913, 0.023580259440244)

(70.6825122397, 70.684173493788)

(83.2494887924, 83.2508470681976)

(64.3989212408, 64.4007853488228)

(89.5329056365, 89.5341481411884)

(36.1205972167, 0.0276820773056786)

(50.25, 1.31990323279526e-110)

(58.1152284245, 58.117346299689)

(95.8162884222, 95.8174321856908)

(39.2629689527, 39.2664387285027)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x35=45.5473442341x_{35} = 45.5473442341
x35=51.8313919572x_{35} = 51.8313919572
x35=76.9660286206x_{35} = 76.9660286206
x35=7.79154865048x_{35} = 7.79154865048
x35=32.9780490042x_{35} = 32.9780490042
x35=26.6921312239x_{35} = 26.6921312239
x35=14.1103988467x_{35} = 14.1103988467
x35=20.4041023383x_{35} = 20.4041023383
x35=70.6825122397x_{35} = 70.6825122397
x35=83.2494887924x_{35} = 83.2494887924
x35=64.3989212408x_{35} = 64.3989212408
x35=89.5329056365x_{35} = 89.5329056365
x35=58.1152284245x_{35} = 58.1152284245
x35=95.8162884222x_{35} = 95.8162884222
x35=39.2629689527x_{35} = 39.2629689527
Максимумы функции в точках:
x35=86.3912019829x_{35} = 86.3912019829
x35=29.8352599645x_{35} = 29.8352599645
x35=80.1077648251x_{35} = 80.1077648251
x35=4.56933246205x_{35} = 4.56933246205
x35=73.8242784477x_{35} = 73.8242784477
x35=42.4052077913x_{35} = 42.4052077913
x35=36.1205972167x_{35} = 36.1205972167
Убывает на промежутках
[95.8162884222, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 7.79154865048]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
x1sin(x)sin(x)(1sin(x)(log(x)cos(x)sin(x)1x)2+log(x)+2cos2(x)sin2(x)log(x)2cos(x)xsin(x)1x2)=0\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x}\right)^{2} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1.38488717836x_{1} = 1.38488717836
x2=41.8365554526x_{2} = 41.8365554526
x3=66x_{3} = 66
x4=37.75x_{4} = -37.75
x5=88x_{5} = -88
x6=92.1642591727x_{6} = 92.1642591727
x7=30.4375079183x_{7} = 30.4375079183
x8=24.1765054912x_{8} = 24.1765054912
x9=85.8763051143x_{9} = 85.8763051143
x10=36.7040754678x_{10} = 36.7040754678
x11=3.65243031679x_{11} = 3.65243031679
x12=6.25056912344x_{12} = 6.25056912344
x13=48.1324150121x_{13} = 48.1324150121
x14=10.2243642972x_{14} = 10.2243642972
x15=22x_{15} = 22
x16=17.9254154332x_{16} = 17.9254154332
x17=74.3499116523x_{17} = 74.3499116523
x18=98.4517815142x_{18} = 98.4517815142
x19=68.0726791257x_{19} = 68.0726791257
x20=44x_{20} = -44
x21=50.25x_{21} = 50.25
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979

limx0(x1sin(x)sin(x)(1sin(x)(log(x)cos(x)sin(x)1x)2+log(x)+2cos2(x)sin2(x)log(x)2cos(x)xsin(x)1x2))=\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x}\right)^{2} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = \infty
limx0+(x1sin(x)sin(x)(1sin(x)(log(x)cos(x)sin(x)1x)2+log(x)+2cos2(x)sin2(x)log(x)2cos(x)xsin(x)1x2))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x}\right)^{2} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 0
- пределы не равны, зн.
x1=0x_{1} = 0
- является точкой перегиба
limx3.14159265358979(x1sin(x)sin(x)(1sin(x)(log(x)cos(x)sin(x)1x)2+log(x)+2cos2(x)sin2(x)log(x)2cos(x)xsin(x)1x2))=2.26000424506132104059536782689317\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x}\right)^{2} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 2.26000424506132 \cdot 10^{4059536782689317}
limx3.14159265358979+(x1sin(x)sin(x)(1sin(x)(log(x)cos(x)sin(x)1x)2+log(x)+2cos2(x)sin2(x)log(x)2cos(x)xsin(x)1x2))=2.26000424506132104059536782689317\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x}\right)^{2} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 2.26000424506132 \cdot 10^{4059536782689317}
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[74.3499116523, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1.38488717836]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=limxx1sin(x)y = \lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=limxx1sin(x)y = \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(1xx1sin(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(1xx1sin(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x1sin(x)=(x)1sin(x)x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}} = \left(- x\right)^{- \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}
- Нет
x1sin(x)=(x)1sin(x)x^{\frac{1}{\sin{\left (x \right )}}} = - \left(- x\right)^{- \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной