График функции y = x^tan(x)

Вы ввели

        tan(x)
f(x) = x      

$$f{\left (x \right )} = x^{\tan{\left (x \right )}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{\tan{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 36.2458854633$$
$$x_{2} = 51.9254695452$$
$$x_{3} = 67.6855591213$$
$$x_{4} = -95.75$$
$$x_{5} = 58.25$$
$$x_{6} = 29.9257175118$$
$$x_{7} = 1.58617323914$$
$$x_{8} = 95.9193967028$$
$$x_{9} = -73.75$$
$$x_{10} = 14.1968206814$$
$$x_{11} = 80.25$$
$$x_{12} = 73.9229171178$$
$$x_{13} = 7.91353231336$$
$$x_{14} = 23.6738511686$$
$$x_{15} = 45.6836174093$$
$$x_{16} = -29.75$$
$$x_{17} = 89.6844606425$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^tan(x).
$$0^{\tan{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{\tan{\left (x \right )}} \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \tan{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 73.9202863626$$
$$x_{2} = 95.9166544438$$
$$x_{3} = -73.75$$
$$x_{4} = 51.9228996824$$
$$x_{5} = 29.9230893768$$
$$x_{6} = -95.75$$
$$x_{7} = 7.91025252729$$
$$x_{8} = 14.195020214$$
Зн. экстремумы в точках:

(73.9202863626, 8.57301176668437e-21)

(95.9166544438, 7.2046892281304e-21)

(-73.75, -7.92051519702999e-25 - 2.86528852424669e-25*I)

(51.9228996824, 1.76397468045929e-20)

(29.9230893768, 1.27438596015922e-19)

(-95.75, -2.6594589664432e-30 - 1.40590887861954e-29*I)

(7.91025252729, 1.13488356253101e-16)

(14.195020214, 1.28064619567337e-20)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x^{\tan{\left (x \right )}} \left(\left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \tan{\left (x \right )}\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right) - \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -73.75$$
$$x_{2} = 7.85998177196$$
$$x_{3} = 2.32471194249$$
$$x_{4} = -95.75$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2.32471194249, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2.32471194249]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} x^{\tan{\left (x \right )}}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} x^{\tan{\left (x \right )}}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^tan(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} x^{\tan{\left (x \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} x^{\tan{\left (x \right )}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{\tan{\left (x \right )}} = \left(- x\right)^{- \tan{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$x^{\tan{\left (x \right )}} = - \left(- x\right)^{- \tan{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной