График функции y = x^3/(x-1)

Вы ввели

          3 
         x  
f(x) = -----
       x - 1

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x - 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 8.86106532722656 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = -7.50931498113514 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = -4.31556471723082 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = -9.99794208392354 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 7.93259377384698 \cdot 10^{-5}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/(x - 1*1).
$$\frac{0^{3}}{\left(-1\right) 1 + 0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

           27     
(3/2, -----------)
      8*(3/2 - 1) 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 1} + 3\right)}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 1} + 3\right)}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x}{x - 1} + 3\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x - 1} = - \frac{x^{3}}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x - 1} = \frac{x^{3}}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График