График функции y = (x^3-1)/x

Вы ввели

        3    
       x  - 1
f(x) = ------
         x   

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x} \left(x^{3} - 1\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x} \left(x^{3} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 1)/x.
$$\frac{1}{0} \left(-1 + 0^{3}\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{3} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

   2/3     3 ___ 
 -2      3*\/ 2  
(------, -------)
   2        2    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-2**(2/3)/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2**(2/3)/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 x^{3} - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{3}} \left(2 x^{3} - 2\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{3}} \left(2 x^{3} - 2\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[1, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 1)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(x^{3} - 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(x^{3} - 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x} \left(x^{3} - 1\right) = - \frac{1}{x} \left(- x^{3} - 1\right)$$
- Нет
$$\frac{1}{x} \left(x^{3} - 1\right) = - \frac{1}{x} \left(x^{3} + 1\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной