График функции y = x^3-5*x^2-6*x

Вы ввели

        3      2      
f(x) = x  - 5*x  - 6*x

$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 5 x^{2} - 6 x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} - 5 x^{2} - 6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 6$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 6$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 5*x^2 - 6*x.
$$0^{3} - 5 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$3 x^{2} - 10 x - 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{43}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{43}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

                               3                 2            
       ____        /      ____\      /      ____\             
 5   \/ 43         |5   \/ 43 |      |5   \/ 43 |        ____ 
(- - ------, -10 + |- - ------|  - 5*|- - ------|  + 2*\/ 43 )
 3     3           \3     3   /      \3     3   /             

                               3                 2            
       ____        /      ____\      /      ____\             
 5   \/ 43         |5   \/ 43 |      |5   \/ 43 |        ____ 
(- + ------, -10 + |- + ------|  - 5*|- + ------|  - 2*\/ 43 )
 3     3           \3     3   /      \3     3   /             

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{43}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{43}}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{43}}{3}\right] \cup \left[\frac{5}{3} + \frac{\sqrt{43}}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{43}}{3}, \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{43}}{3}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x - 5\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{5}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 5 x^{2} - 6 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 5 x^{2} - 6 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 5*x^2 - 6*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 6 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 6 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} - 5 x^{2} - 6 x = - x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$$
- Нет
$$x^{3} - 5 x^{2} - 6 x = x^{3} + 5 x^{2} - 6 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График