График функции y = x^3*exp(x)

Вы ввели

        3  x
f(x) = x *e 

$$f{\left (x \right )} = x^{3} e^{x}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -121.46241928$$
$$x_{2} = -107.551592081$$
$$x_{3} = -41.4545032502$$
$$x_{4} = -103.582247221$$
$$x_{5} = -109.537236989$$
$$x_{6} = -64.1672177737$$
$$x_{7} = -6.37672685751 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -71.9837938599$$
$$x_{9} = -48.80859717$$
$$x_{10} = -54.5046825562$$
$$x_{11} = -115.497596961$$
$$x_{12} = -83.7892084427$$
$$x_{13} = -97.6338001723$$
$$x_{14} = -79.8460108226$$
$$x_{15} = -85.7632268036$$
$$x_{16} = -93.672545394$$
$$x_{17} = -68.0684850742$$
$$x_{18} = -119.473696806$$
$$x_{19} = -117.485413952$$
$$x_{20} = -89.7154509916$$
$$x_{21} = -62.2229958168$$
$$x_{22} = -111.523476442$$
$$x_{23} = -105.566581155$$
$$x_{24} = -101.598637274$$
$$x_{25} = -99.6158027709$$
$$x_{26} = -113.510274213$$
$$x_{27} = -60.2838279161$$
$$x_{28} = -56.4237044387$$
$$x_{29} = -91.6934372761$$
$$x_{30} = -81.8167544118$$
$$x_{31} = -45.0843950117$$
$$x_{32} = -58.3504397457$$
$$x_{33} = -95.6526915671$$
$$x_{34} = -52.5946760133$$
$$x_{35} = -77.8771426363$$
$$x_{36} = -50.6953021086$$
$$x_{37} = -66.1158854872$$
$$x_{38} = -87.7386796068$$
$$x_{39} = -43.2547932898$$
$$x_{40} = -39.6921638743$$
$$x_{41} = -46.9371649843$$
$$x_{42} = 0$$
$$x_{43} = -73.9458061468$$
$$x_{44} = -75.9103368175$$
$$x_{45} = -70.0245793288$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3*exp(x).
$$0^{3} e^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

          -3 
(-3, -27*e  )

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-3, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x \left(x^{2} + 6 x + 6\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -3 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = -3 + \sqrt{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-3 - sqrt(3), -3 + sqrt(3)] U [0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -3 - sqrt(3)] U [-3 + sqrt(3), 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} e^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3*exp(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} e^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} e^{x} = - x^{3} e^{- x}$$
- Нет
$$x^{3} e^{x} = - -1 x^{3} e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной