График функции y = x^3*cos(x)

Вы ввели

        3       
f(x) = x *cos(x)

$$f{\left(x \right)} = x^{3} \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 83.2522053201295$$
$$x_{2} = -45.553093477052$$
$$x_{3} = -80.1106126665397$$
$$x_{4} = -86.3937979737193$$
$$x_{5} = 10.9955742875643$$
$$x_{6} = -32.9867228626928$$
$$x_{7} = 86.3937979737193$$
$$x_{8} = 48.6946861306418$$
$$x_{9} = -1.5707963267949$$
$$x_{10} = 0$$
$$x_{11} = 73.8274273593601$$
$$x_{12} = 54.9778714378214$$
$$x_{13} = 23.5619449019235$$
$$x_{14} = 7.85398163397448$$
$$x_{15} = 61.261056745001$$
$$x_{16} = -14.1371669411541$$
$$x_{17} = -95.8185759344887$$
$$x_{18} = -17.2787595947439$$
$$x_{19} = 17.2787595947439$$
$$x_{20} = 80.1106126665397$$
$$x_{21} = 64.4026493985908$$
$$x_{22} = -61.261056745001$$
$$x_{23} = -54.9778714378214$$
$$x_{24} = -89.5353906273091$$
$$x_{25} = 20.4203522483337$$
$$x_{26} = 89.5353906273091$$
$$x_{27} = -10.9955742875643$$
$$x_{28} = 26.7035375555132$$
$$x_{29} = 1.5707963267949$$
$$x_{30} = 29.845130209103$$
$$x_{31} = 45.553093477052$$
$$x_{32} = 36.1283155162826$$
$$x_{33} = -51.8362787842316$$
$$x_{34} = -4.71238898038469$$
$$x_{35} = 4.71238898038469$$
$$x_{36} = -7.85398163397448$$
$$x_{37} = 95.8185759344887$$
$$x_{38} = -73.8274273593601$$
$$x_{39} = -23.5619449019235$$
$$x_{40} = 32.9867228626928$$
$$x_{41} = 51.8362787842316$$
$$x_{42} = -48.6946861306418$$
$$x_{43} = 58.1194640914112$$
$$x_{44} = -70.6858347057703$$
$$x_{45} = -26.7035375555132$$
$$x_{46} = -76.9690200129499$$
$$x_{47} = 39.2699081698724$$
$$x_{48} = -92.6769832808989$$
$$x_{49} = 14.1371669411541$$
$$x_{50} = -64.4026493985908$$
$$x_{51} = -42.4115008234622$$
$$x_{52} = -98.9601685880785$$
$$x_{53} = 76.9690200129499$$
$$x_{54} = 42.4115008234622$$
$$x_{55} = -29.845130209103$$
$$x_{56} = -39.2699081698724$$
$$x_{57} = 98.9601685880785$$
$$x_{58} = -20.4203522483337$$
$$x_{59} = 70.6858347057703$$
$$x_{60} = -36.1283155162826$$
$$x_{61} = 67.5442420521806$$
$$x_{62} = 92.6769832808989$$
$$x_{63} = -58.1194640914112$$
$$x_{64} = -83.2522053201295$$
$$x_{65} = -67.5442420521806$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3*cos(x).
$$0^{3} \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- x^{3} \sin{\left(x \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 91.1390917936668$$
$$x_{2} = 31.510845756676$$
$$x_{3} = -1.19245882933643$$
$$x_{4} = -9.72402747617551$$
$$x_{5} = 25.2509941253717$$
$$x_{6} = 3.80876221919969$$
$$x_{7} = -94.2795891235637$$
$$x_{8} = 100.560788770886$$
$$x_{9} = -44.0502961191214$$
$$x_{10} = -40.913898225293$$
$$x_{11} = 94.2795891235637$$
$$x_{12} = -50.325024483292$$
$$x_{13} = 0$$
$$x_{14} = 59.7404355133729$$
$$x_{15} = 78.5779764426249$$
$$x_{16} = -12.7966483902814$$
$$x_{17} = 12.7966483902814$$
$$x_{18} = 69.1583898858035$$
$$x_{19} = -78.5779764426249$$
$$x_{20} = 87.9986725257711$$
$$x_{21} = 66.0188560490172$$
$$x_{22} = -72.2981021067071$$
$$x_{23} = -62.8795272030449$$
$$x_{24} = -22.12591435735$$
$$x_{25} = -6.70395577578075$$
$$x_{26} = 19.0061082873963$$
$$x_{27} = -19.0061082873963$$
$$x_{28} = -56.6016202331048$$
$$x_{29} = 34.6438990396267$$
$$x_{30} = 37.7783560989567$$
$$x_{31} = 1.19245882933643$$
$$x_{32} = -84.8583399660622$$
$$x_{33} = -81.7181040853573$$
$$x_{34} = -47.1873806732917$$
$$x_{35} = 56.6016202331048$$
$$x_{36} = 6.70395577578075$$
$$x_{37} = -97.4201569811411$$
$$x_{38} = 75.4379705139506$$
$$x_{39} = 81.7181040853573$$
$$x_{40} = -34.6438990396267$$
$$x_{41} = 72.2981021067071$$
$$x_{42} = 15.8945130636842$$
$$x_{43} = 40.913898225293$$
$$x_{44} = -37.7783560989567$$
$$x_{45} = -31.510845756676$$
$$x_{46} = -25.2509941253717$$
$$x_{47} = -75.4379705139506$$
$$x_{48} = -53.4631297645908$$
$$x_{49} = -87.9986725257711$$
$$x_{50} = -28.3796522911214$$
$$x_{51} = 28.3796522911214$$
$$x_{52} = -91.1390917936668$$
$$x_{53} = -66.0188560490172$$
$$x_{54} = 53.4631297645908$$
$$x_{55} = 62.8795272030449$$
$$x_{56} = -59.7404355133729$$
$$x_{57} = -15.8945130636842$$
$$x_{58} = 22.12591435735$$
$$x_{59} = 9.72402747617551$$
$$x_{60} = 97.4201569811411$$
$$x_{61} = 44.0502961191214$$
$$x_{62} = 47.1873806732917$$
$$x_{63} = -3.80876221919969$$
$$x_{64} = -69.1583898858035$$
$$x_{65} = 84.8583399660622$$
$$x_{66} = 50.325024483292$$
$$x_{67} = -100.560788770886$$
Зн. экстремумы в точках:

(91.1390917936668, -756621.948790976)

(31.510845756676, 31147.3291476214)

(-1.19245882933643, -0.626323798219316)

(-9.72402747617551, 878.608875900237)

(25.2509941253717, 15987.9141234403)

(3.80876221919969, -43.4050129540828)

(-94.2795891235637, -837593.47806229)

(100.560788770886, 1016465.96298217)

(-44.0502961191214, -85278.9144731517)

(-40.913898225293, 68304.326534245)

(94.2795891235637, 837593.47806229)

(-50.325024483292, -127227.703282192)

(0, 0)

(59.7404355133729, -212940.488750329)

(78.5779764426249, -484826.373587257)

(-12.7966483902814, -2040.19006584704)

(12.7966483902814, 2040.19006584704)

(69.1583898858035, 330465.705562301)

(-78.5779764426249, 484826.373587257)

(87.9986725257711, 681045.511399255)

(66.0188560490172, -287445.855707585)

(-72.2981021067071, 377578.383339478)

(-62.8795272030449, -248332.79602616)

(-22.12591435735, 10733.6615463961)

(-6.70395577578075, -275.015342086354)

(19.0061082873963, 6781.65561120486)

(-19.0061082873963, -6781.65561120486)

(-56.6016202331048, -181082.896088805)

(34.6438990396267, -41424.5724319187)

(37.7783560989567, 53748.2253256845)

(1.19245882933643, 0.626323798219316)

(-84.8583399660622, 610678.128197996)

(-81.7181040853573, -545333.761493627)

(-47.1873806732917, 104858.027361626)

(56.6016202331048, 181082.896088805)

(6.70395577578075, 275.015342086354)

(-97.4201569811411, 924146.136898602)

(75.4379705139506, 428969.926773577)

(81.7181040853573, 545333.761493627)

(-34.6438990396267, 41424.5724319187)

(72.2981021067071, -377578.383339478)

(15.8945130636842, -3945.84968737938)

(40.913898225293, -68304.326534245)

(-37.7783560989567, -53748.2253256845)

(-31.510845756676, -31147.3291476214)

(-25.2509941253717, -15987.9141234403)

(-75.4379705139506, -428969.926773577)

(-53.4631297645908, 152573.980219896)

(-87.9986725257711, -681045.511399255)

(-28.3796522911214, 22730.4563261038)

(28.3796522911214, -22730.4563261038)

(-91.1390917936668, 756621.948790976)

(-66.0188560490172, 287445.855707585)

(53.4631297645908, -152573.980219896)

(62.8795272030449, 248332.79602616)

(-59.7404355133729, 212940.488750329)

(-15.8945130636842, 3945.84968737938)

(22.12591435735, -10733.6615463961)

(9.72402747617551, -878.608875900237)

(97.4201569811411, -924146.136898602)

(44.0502961191214, 85278.9144731517)

(47.1873806732917, -104858.027361626)

(-3.80876221919969, 43.4050129540828)

(-69.1583898858035, -330465.705562301)

(84.8583399660622, -610678.128197996)

(50.325024483292, 127227.703282192)

(-100.560788770886, -1016465.96298217)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 91.1390917936668$$
$$x_{2} = -1.19245882933643$$
$$x_{3} = 3.80876221919969$$
$$x_{4} = -94.2795891235637$$
$$x_{5} = -44.0502961191214$$
$$x_{6} = -50.325024483292$$
$$x_{7} = 59.7404355133729$$
$$x_{8} = 78.5779764426249$$
$$x_{9} = -12.7966483902814$$
$$x_{10} = 66.0188560490172$$
$$x_{11} = -62.8795272030449$$
$$x_{12} = -6.70395577578075$$
$$x_{13} = -19.0061082873963$$
$$x_{14} = -56.6016202331048$$
$$x_{15} = 34.6438990396267$$
$$x_{16} = -81.7181040853573$$
$$x_{17} = 72.2981021067071$$
$$x_{18} = 15.8945130636842$$
$$x_{19} = 40.913898225293$$
$$x_{20} = -37.7783560989567$$
$$x_{21} = -31.510845756676$$
$$x_{22} = -25.2509941253717$$
$$x_{23} = -75.4379705139506$$
$$x_{24} = -87.9986725257711$$
$$x_{25} = 28.3796522911214$$
$$x_{26} = 53.4631297645908$$
$$x_{27} = 22.12591435735$$
$$x_{28} = 9.72402747617551$$
$$x_{29} = 97.4201569811411$$
$$x_{30} = 47.1873806732917$$
$$x_{31} = -69.1583898858035$$
$$x_{32} = 84.8583399660622$$
$$x_{33} = -100.560788770886$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{33} = 31.510845756676$$
$$x_{33} = -9.72402747617551$$
$$x_{33} = 25.2509941253717$$
$$x_{33} = 100.560788770886$$
$$x_{33} = -40.913898225293$$
$$x_{33} = 94.2795891235637$$
$$x_{33} = 12.7966483902814$$
$$x_{33} = 69.1583898858035$$
$$x_{33} = -78.5779764426249$$
$$x_{33} = 87.9986725257711$$
$$x_{33} = -72.2981021067071$$
$$x_{33} = -22.12591435735$$
$$x_{33} = 19.0061082873963$$
$$x_{33} = 37.7783560989567$$
$$x_{33} = 1.19245882933643$$
$$x_{33} = -84.8583399660622$$
$$x_{33} = -47.1873806732917$$
$$x_{33} = 56.6016202331048$$
$$x_{33} = 6.70395577578075$$
$$x_{33} = -97.4201569811411$$
$$x_{33} = 75.4379705139506$$
$$x_{33} = 81.7181040853573$$
$$x_{33} = -34.6438990396267$$
$$x_{33} = -53.4631297645908$$
$$x_{33} = -28.3796522911214$$
$$x_{33} = -91.1390917936668$$
$$x_{33} = -66.0188560490172$$
$$x_{33} = 62.8795272030449$$
$$x_{33} = -59.7404355133729$$
$$x_{33} = -15.8945130636842$$
$$x_{33} = 44.0502961191214$$
$$x_{33} = -3.80876221919969$$
$$x_{33} = 50.325024483292$$
Убывает на промежутках
$$\left[97.4201569811411, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -100.560788770886\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$x \left(- x^{2} \cos{\left(x \right)} - 6 x \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -86.4631361132255$$
$$x_{2} = -20.7061859967519$$
$$x_{3} = -67.6328403186065$$
$$x_{4} = -73.9085198432299$$
$$x_{5} = 20.7061859967519$$
$$x_{6} = 0$$
$$x_{7} = 58.2223356290493$$
$$x_{8} = -99.0207249350603$$
$$x_{9} = 92.741634081119$$
$$x_{10} = 23.811319714972$$
$$x_{11} = -5.63254352434708$$
$$x_{12} = -11.495916748171$$
$$x_{13} = 55.0865764667238$$
$$x_{14} = 99.0207249350603$$
$$x_{15} = -0.822926400561141$$
$$x_{16} = -61.3586871153543$$
$$x_{17} = -8.50941039706366$$
$$x_{18} = 42.5520407715344$$
$$x_{19} = 83.3241511438861$$
$$x_{20} = -2.98146897551057$$
$$x_{21} = 45.6840551197015$$
$$x_{22} = 51.9515155836453$$
$$x_{23} = -30.0435319479484$$
$$x_{24} = 11.495916748171$$
$$x_{25} = 64.495545315785$$
$$x_{26} = -70.7705144780994$$
$$x_{27} = -92.741634081119$$
$$x_{28} = -42.5520407715344$$
$$x_{29} = 77.0468162058446$$
$$x_{30} = -17.6130932998928$$
$$x_{31} = 39.4215265901233$$
$$x_{32} = -33.1666524059798$$
$$x_{33} = 26.924570790473$$
$$x_{34} = -58.2223356290493$$
$$x_{35} = 48.8172856736618$$
$$x_{36} = -36.2928915290304$$
$$x_{37} = 61.3586871153543$$
$$x_{38} = 36.2928915290304$$
$$x_{39} = 70.7705144780994$$
$$x_{40} = -64.495545315785$$
$$x_{41} = -45.6840551197015$$
$$x_{42} = -14.538821316956$$
$$x_{43} = 17.6130932998928$$
$$x_{44} = 8.50941039706366$$
$$x_{45} = -26.924570790473$$
$$x_{46} = 67.6328403186065$$
$$x_{47} = -89.6023032306285$$
$$x_{48} = 86.4631361132255$$
$$x_{49} = 30.0435319479484$$
$$x_{50} = 33.1666524059798$$
$$x_{51} = -80.185369601293$$
$$x_{52} = -55.0865764667238$$
$$x_{53} = -77.0468162058446$$
$$x_{54} = -51.9515155836453$$
$$x_{55} = -48.8172856736618$$
$$x_{56} = 89.6023032306285$$
$$x_{57} = 95.8811126479692$$
$$x_{58} = -23.811319714972$$
$$x_{59} = -39.4215265901233$$
$$x_{60} = -95.8811126479692$$
$$x_{61} = 80.185369601293$$
$$x_{62} = 14.538821316956$$
$$x_{63} = 5.63254352434708$$
$$x_{64} = 102.160458658341$$
$$x_{65} = 73.9085198432299$$
$$x_{66} = -83.3241511438861$$
$$x_{67} = 2.98146897551057$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[102.160458658341, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -95.8811126479692\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \cos{\left(x \right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \cos{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \cos{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \cos{\left(x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} \cos{\left(x \right)} = - x^{3} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$x^{3} \cos{\left(x \right)} = x^{3} \cos{\left(x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График