График функции y = x^3*sin(x)

Вы ввели

        3       
f(x) = x *sin(x)

$$f{\left (x \right )} = x^{3} \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 31.4159265359$$
$$x_{3} = 81.6814089933$$
$$x_{4} = 84.8230016469$$
$$x_{5} = -53.407075111$$
$$x_{6} = 65.9734457254$$
$$x_{7} = 3.14159265359$$
$$x_{8} = 15.7079632679$$
$$x_{9} = 100.530964915$$
$$x_{10} = 50.2654824574$$
$$x_{11} = -3.14159265359$$
$$x_{12} = 40.8407044967$$
$$x_{13} = -59.6902604182$$
$$x_{14} = 97.3893722613$$
$$x_{15} = 78.5398163397$$
$$x_{16} = -25.1327412287$$
$$x_{17} = -43.9822971503$$
$$x_{18} = 25.1327412287$$
$$x_{19} = 62.8318530718$$
$$x_{20} = -91.1061869541$$
$$x_{21} = 87.9645943005$$
$$x_{22} = 69.115038379$$
$$x_{23} = -34.5575191895$$
$$x_{24} = 28.2743338823$$
$$x_{25} = -31.4159265359$$
$$x_{26} = 37.6991118431$$
$$x_{27} = -28.2743338823$$
$$x_{28} = 72.2566310326$$
$$x_{29} = -125.663706144$$
$$x_{30} = -75.3982236862$$
$$x_{31} = -69.115038379$$
$$x_{32} = -6.28318530718$$
$$x_{33} = -9.42477796077$$
$$x_{34} = 6.28318530718$$
$$x_{35} = 75.3982236862$$
$$x_{36} = -65.9734457254$$
$$x_{37} = -87.9645943005$$
$$x_{38} = -72.2566310326$$
$$x_{39} = 18.8495559215$$
$$x_{40} = -84.8230016469$$
$$x_{41} = 9.42477796077$$
$$x_{42} = -50.2654824574$$
$$x_{43} = 56.5486677646$$
$$x_{44} = -56.5486677646$$
$$x_{45} = 91.1061869541$$
$$x_{46} = 59.6902604182$$
$$x_{47} = -47.1238898038$$
$$x_{48} = 12.5663706144$$
$$x_{49} = -62.8318530718$$
$$x_{50} = -81.6814089933$$
$$x_{51} = -18.8495559215$$
$$x_{52} = -12.5663706144$$
$$x_{53} = -37.6991118431$$
$$x_{54} = -97.3893722613$$
$$x_{55} = 94.2477796077$$
$$x_{56} = 34.5575191895$$
$$x_{57} = -21.9911485751$$
$$x_{58} = 21.9911485751$$
$$x_{59} = -100.530964915$$
$$x_{60} = -135.088484104$$
$$x_{61} = 53.407075111$$
$$x_{62} = -78.5398163397$$
$$x_{63} = 0$$
$$x_{64} = 43.9822971503$$
$$x_{65} = -40.8407044967$$
$$x_{66} = -15.7079632679$$
$$x_{67} = 47.1238898038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3*sin(x).
$$0^{3} \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{3} \cos{\left (x \right )} + 3 x^{2} \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -39.3460075465$$
$$x_{2} = 61.3099494476$$
$$x_{3} = -8.20453136258$$
$$x_{4} = -98.9904652641$$
$$x_{5} = -55.0323309442$$
$$x_{6} = -17.4490243427$$
$$x_{7} = -48.7561393668$$
$$x_{8} = 51.8940246364$$
$$x_{9} = 42.4820019254$$
$$x_{10} = 77.0079573363$$
$$x_{11} = -89.5688718899$$
$$x_{12} = 83.2882092591$$
$$x_{13} = -29.9449807735$$
$$x_{14} = -51.8940246364$$
$$x_{15} = -2.45564386288$$
$$x_{16} = -14.3433507884$$
$$x_{17} = 58.17099054$$
$$x_{18} = -58.17099054$$
$$x_{19} = -83.2882092591$$
$$x_{20} = 14.3433507884$$
$$x_{21} = 29.9449807735$$
$$x_{22} = 67.5885991217$$
$$x_{23} = -70.7282251775$$
$$x_{24} = 33.0771723843$$
$$x_{25} = 36.2109745556$$
$$x_{26} = 73.8680180276$$
$$x_{27} = 89.5688718899$$
$$x_{28} = -95.8498646688$$
$$x_{29} = 64.4491641379$$
$$x_{30} = -5.23293845351$$
$$x_{31} = 45.6187613383$$
$$x_{32} = 20.5652079398$$
$$x_{33} = -77.0079573363$$
$$x_{34} = 23.687921056$$
$$x_{35} = 86.4284948181$$
$$x_{36} = -86.4284948181$$
$$x_{37} = 95.8498646688$$
$$x_{38} = -20.5652079398$$
$$x_{39} = 70.7282251775$$
$$x_{40} = -45.6187613383$$
$$x_{41} = -67.5885991217$$
$$x_{42} = -11.2560430144$$
$$x_{43} = 5.23293845351$$
$$x_{44} = 17.4490243427$$
$$x_{45} = 80.1480259413$$
$$x_{46} = 26.814952131$$
$$x_{47} = 39.3460075465$$
$$x_{48} = 48.7561393668$$
$$x_{49} = -64.4491641379$$
$$x_{50} = -26.814952131$$
$$x_{51} = -73.8680180276$$
$$x_{52} = 92.7093311956$$
$$x_{53} = -33.0771723843$$
$$x_{54} = 8.20453136258$$
$$x_{55} = -61.3099494476$$
$$x_{56} = 2.45564386288$$
$$x_{57} = 55.0323309442$$
$$x_{58} = -42.4820019254$$
$$x_{59} = -36.2109745556$$
$$x_{60} = -92.7093311956$$
$$x_{61} = 0$$
$$x_{62} = -23.687921056$$
$$x_{63} = 11.2560430144$$
$$x_{64} = -80.1480259413$$
$$x_{65} = 98.9904652641$$
Зн. экстремумы в точках:

(-39.3460075465, 60735.5924841558)

(61.3099494476, -230183.175698878)

(-8.20453136258, 518.694993552911)

(-98.9904652641, -969573.526679447)

(-55.0323309442, -166421.48092055)

(-17.4490243427, -5235.85577950966)

(-48.7561393668, -115682.417566907)

(51.8940246364, 139517.139252855)

(42.4820019254, -76477.6822699254)

(77.0079573363, 456328.409900699)

(-89.5688718899, 718170.970965642)

(83.2882092591, 577389.695139745)

(-29.9449807735, -26717.9738988985)

(-51.8940246364, 139517.139252855)

(-2.45564386288, 9.37949248744233)

(-14.3433507884, 2888.3803804149)

(58.17099054, 196581.480455827)

(-58.17099054, 196581.480455827)

(-83.2882092591, 577389.695139745)

(14.3433507884, 2888.3803804149)

(29.9449807735, -26717.9738988985)

(67.5885991217, -308455.804503574)

(-70.7282251775, 353498.813601871)

(33.0771723843, 36041.7770225777)

(36.2109745556, -47318.9702503321)

(73.8680180276, -402727.669491498)

(89.5688718899, 718170.970965642)

(-95.8498646688, 880160.538929613)

(64.4491641379, 267412.604455205)

(-5.23293845351, -124.316680634702)

(45.6187613383, 94731.2779158677)

(20.5652079398, 8606.50554943)

(-77.0079573363, 456328.409900699)

(23.687921056, -13186.37925766)

(86.4284948181, -645222.315380553)

(-86.4284948181, -645222.315380553)

(95.8498646688, 880160.538929613)

(-20.5652079398, 8606.50554943)

(70.7282251775, 353498.813601871)

(-45.6187613383, 94731.2779158677)

(-67.5885991217, -308455.804503574)

(-11.2560430144, -1378.01976203725)

(5.23293845351, -124.316680634702)

(17.4490243427, -5235.85577950966)

(80.1480259413, -514487.072547109)

(26.814952131, 19161.5214252829)

(39.3460075465, 60735.5924841558)

(48.7561393668, -115682.417566907)

(-64.4491641379, 267412.604455205)

(-26.814952131, 19161.5214252829)

(-73.8680180276, -402727.669491498)

(92.7093311956, -796421.699586266)

(-33.0771723843, 36041.7770225777)

(8.20453136258, 518.694993552911)

(-61.3099494476, -230183.175698878)

(2.45564386288, 9.37949248744233)

(55.0323309442, -166421.48092055)

(-42.4820019254, -76477.6822699254)

(-36.2109745556, -47318.9702503321)

(-92.7093311956, -796421.699586266)

(0, 0)

(-23.687921056, -13186.37925766)

(11.2560430144, -1378.01976203725)

(-80.1480259413, -514487.072547109)

(98.9904652641, -969573.526679447)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{65} = 61.3099494476$$
$$x_{65} = -98.9904652641$$
$$x_{65} = -55.0323309442$$
$$x_{65} = -17.4490243427$$
$$x_{65} = -48.7561393668$$
$$x_{65} = 42.4820019254$$
$$x_{65} = -29.9449807735$$
$$x_{65} = 29.9449807735$$
$$x_{65} = 67.5885991217$$
$$x_{65} = 36.2109745556$$
$$x_{65} = 73.8680180276$$
$$x_{65} = -5.23293845351$$
$$x_{65} = 23.687921056$$
$$x_{65} = 86.4284948181$$
$$x_{65} = -86.4284948181$$
$$x_{65} = -67.5885991217$$
$$x_{65} = -11.2560430144$$
$$x_{65} = 5.23293845351$$
$$x_{65} = 17.4490243427$$
$$x_{65} = 80.1480259413$$
$$x_{65} = 48.7561393668$$
$$x_{65} = -73.8680180276$$
$$x_{65} = 92.7093311956$$
$$x_{65} = -61.3099494476$$
$$x_{65} = 55.0323309442$$
$$x_{65} = -42.4820019254$$
$$x_{65} = -36.2109745556$$
$$x_{65} = -92.7093311956$$
$$x_{65} = 0$$
$$x_{65} = -23.687921056$$
$$x_{65} = 11.2560430144$$
$$x_{65} = -80.1480259413$$
$$x_{65} = 98.9904652641$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{65} = -39.3460075465$$
$$x_{65} = -8.20453136258$$
$$x_{65} = 51.8940246364$$
$$x_{65} = 77.0079573363$$
$$x_{65} = -89.5688718899$$
$$x_{65} = 83.2882092591$$
$$x_{65} = -51.8940246364$$
$$x_{65} = -2.45564386288$$
$$x_{65} = -14.3433507884$$
$$x_{65} = 58.17099054$$
$$x_{65} = -58.17099054$$
$$x_{65} = -83.2882092591$$
$$x_{65} = 14.3433507884$$
$$x_{65} = -70.7282251775$$
$$x_{65} = 33.0771723843$$
$$x_{65} = 89.5688718899$$
$$x_{65} = -95.8498646688$$
$$x_{65} = 64.4491641379$$
$$x_{65} = 45.6187613383$$
$$x_{65} = 20.5652079398$$
$$x_{65} = -77.0079573363$$
$$x_{65} = 95.8498646688$$
$$x_{65} = -20.5652079398$$
$$x_{65} = 70.7282251775$$
$$x_{65} = -45.6187613383$$
$$x_{65} = 26.814952131$$
$$x_{65} = 39.3460075465$$
$$x_{65} = -64.4491641379$$
$$x_{65} = -26.814952131$$
$$x_{65} = -33.0771723843$$
$$x_{65} = 8.20453136258$$
$$x_{65} = 2.45564386288$$
Убывает на промежутках

[98.9904652641, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -98.9904652641]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x \left(- x^{2} \sin{\left (x \right )} + 6 x \cos{\left (x \right )} + 6 \sin{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -25.3671067404$$
$$x_{2} = -22.2575395263$$
$$x_{3} = 72.339478435$$
$$x_{4} = -75.4776339039$$
$$x_{5} = -13.0122981021$$
$$x_{6} = 4.26739380713$$
$$x_{7} = -7.05208859318$$
$$x_{8} = -69.2016332025$$
$$x_{9} = 66.0641420736$$
$$x_{10} = -66.0641420736$$
$$x_{11} = 56.6543759268$$
$$x_{12} = 78.6160626871$$
$$x_{13} = -84.8936196034$$
$$x_{14} = -34.7294331657$$
$$x_{15} = 1.81453497474$$
$$x_{16} = 75.4776339039$$
$$x_{17} = -72.339478435$$
$$x_{18} = 81.7547334876$$
$$x_{19} = -78.6160626871$$
$$x_{20} = 40.9865751124$$
$$x_{21} = 69.2016332025$$
$$x_{22} = 59.7904430977$$
$$x_{23} = 9.99322916736$$
$$x_{24} = -31.6046464917$$
$$x_{25} = 84.8936196034$$
$$x_{26} = 13.0122981021$$
$$x_{27} = 22.2575395263$$
$$x_{28} = -94.3113558182$$
$$x_{29} = -4.26739380713$$
$$x_{30} = -53.5189511635$$
$$x_{31} = 31.6046464917$$
$$x_{32} = 91.1719492417$$
$$x_{33} = 100.590577325$$
$$x_{34} = 53.5189511635$$
$$x_{35} = 94.3113558182$$
$$x_{36} = -88.0326981155$$
$$x_{37} = -50.3842871967$$
$$x_{38} = 28.4834495364$$
$$x_{39} = 97.4509028812$$
$$x_{40} = -40.9865751124$$
$$x_{41} = 0$$
$$x_{42} = 34.7294331657$$
$$x_{43} = 37.8569457406$$
$$x_{44} = -19.1578008102$$
$$x_{45} = -37.8569457406$$
$$x_{46} = -97.4509028812$$
$$x_{47} = 47.2505332434$$
$$x_{48} = 7.05208859318$$
$$x_{49} = 25.3671067404$$
$$x_{50} = -47.2505332434$$
$$x_{51} = 62.9270575686$$
$$x_{52} = -59.7904430977$$
$$x_{53} = -62.9270575686$$
$$x_{54} = -9.99322916736$$
$$x_{55} = -91.1719492417$$
$$x_{56} = 44.1178800162$$
$$x_{57} = -100.590577325$$
$$x_{58} = 16.0730074093$$
$$x_{59} = -56.6543759268$$
$$x_{60} = -81.7547334876$$
$$x_{61} = 88.0326981155$$
$$x_{62} = -28.4834495364$$
$$x_{63} = 19.1578008102$$
$$x_{64} = -44.1178800162$$
$$x_{65} = 50.3842871967$$
$$x_{66} = -16.0730074093$$
$$x_{67} = -1.81453497474$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[97.4509028812, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -100.590577325]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3*sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} \sin{\left (x \right )} = x^{3} \sin{\left (x \right )}$$
- Да
$$x^{3} \sin{\left (x \right )} = - x^{3} \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной