График функции y = x^x^x

Вы ввели

        / x\
        \x /
f(x) = x    

$$f{\left (x \right )} = x^{x^{x}}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(x^x).
$$0^{0^{0}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{x^{x}} \left(x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} + \frac{x^{x}}{x}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x^{x} x^{x^{x}} \left(x^{x} \left(\left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x}\right)^{2} + \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(2 \log{\left (x \right )} + 2\right) + \frac{1}{x} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.667657276502$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0.667657276502, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0.667657276502]

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(x^x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{x^{x}}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x^{x}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{x^{x}} = \left(- x\right)^{\left(- x\right)^{- x}}$$
- Нет
$$x^{x^{x}} = - \left(- x\right)^{\left(- x\right)^{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной