Несобственный интеграл
Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение интеграла 😼
Что умеет?
Используя данные примеры, вы можете:
- Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
- сходится
- расходится
- на условную сходимость (расходимость)
- на абсолютную сходимость (расходимость)
- Вычислить несобственный интеграл
- 1-го рода (с бесконечным нижним или верхним пределом, с двумя бесконечными пределами)
- 2-го рода (от функций, имеющий неопределённость или расходимость в точки)
- условно и абсолютно расходящиеся
Калькулятор использует методы:
- I признак сравнения
- II признак сравнения
- Принцип Дирихле
- Формулу Ньютон-Лейбница для несобственного интеграла 2-го рода (первообразной)
Для функций:
- Монотонных на промежутке интегрирования (монотонно возрастающих или убывающих)
- Положительных или отрицательных на этом промежутке
- Имеющих разрыв (стремящиюся к бесконечности) или непрерывных
- Знакопеременных
Примеры несобственных интегралов
Несобственный интеграл 1-го рода
$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} x^{- p}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{\infty} \sin{\left(x \right)}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{\infty} x \sin{\left(x \right)}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{\infty} x e^{- x^{2}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{\infty} e^{- x}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{\infty} \lambda x e^{- \lambda x}\, dx$$
Первый признак сравнения
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} \left(e^{x} + 1\right)}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{x + 3}{x^{\frac{4}{3}}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x} + 3 x}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{5} + 1}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x}}\, dx$$
Исследование на условную сходимость
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Основная формула интегрального исчисления
$$\int\limits_{-1}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\, dx$$
Второй признак сравнения
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 3 x - 1}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} + 2}}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{5} + 1}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{3}}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{e^{\sin{\left(x \right)}} - 1}\, dx$$
Исследование интеграла от знакопеременной функции на абсолютную сходимость
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$
Признак Дирихле
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$
$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}\, dx$$
Несобственный интеграл 2-го рода
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x}\, dx$$
$$\int\limits_{0}^{1} x^{- p}\, dx$$
$$\int\limits_{a}^{b} \frac{1}{b - x}\, dx$$
$$\int\limits_{a}^{b} \left(b - x\right)^{- p}\, dx$$
Введите функцию, для которой надо найти несобственный интеграл
Найдём решение несобственного интеграла с заданными пределами интегрирования.
Примеры
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Квадратный корень
sqrt(x)/(x + 1)
Кубический корень
cbrt(x)/(3*x + 2)
С применением синуса и косинуса
2*sin(x)*cos(x)
Арксинус
x*arcsin(x)
Арккосинус
x*arccos(x)
Применение логарифма
x*log(x, 10)
Натуральный логарифм
ln(x)/x
Экспонента
exp(x)*x
Тангенс
tg(x)*sin(x)
Котангенс
ctg(x)*cos(x)
Иррациональные дроби
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Арктангенс
x*arctg(x)
Арккотангенс
x*arcctg(x)
Гиберболические синус и косинус
2*sh(x)*ch(x)
Гиберболические тангенс и котангенс
ctgh(x)/tgh(x)
Гиберболические арксинус и арккосинус
x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Правила ввода выражений и функций
- absolute(x)
-
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) - arccos(x)
- Функция - арккосинус от x
- arccosh(x)
- Арккосинус гиперболический от x
- arcsin(x)
- Арксинус от x
- arcsinh(x)
- Арксинус гиперболический от x
- arctg(x)
- Функция - арктангенс от x
- arctgh(x)
- Арктангенс гиперболический от x
- exp(x)
- Функция - экспонента от x (что и e^x)
- log(x) or ln(x)
-
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) - sin(x)
- Функция - Синус от x
- cos(x)
- Функция - Косинус от x
- sinh(x)
- Функция - Синус гиперболический от x
- cosh(x)
- Функция - Косинус гиперболический от x
- sqrt(x)
- Функция - квадратный корень из x
- sqr(x) или x^2
- Функция - Квадрат x
- ctg(x)
- Функция - Котангенс от x
- arcctg(x)
- Функция - Арккотангенс от x
- arcctgh(x)
- Функция - Гиперболический арккотангенс от x
- tg(x)
- Функция - Тангенс от x
- tgh(x)
- Функция - Тангенс гиперболический от x
- cbrt(x)
- Функция - кубический корень из x
- gamma(x)
- Гамма-функция
- LambertW(x)
- Функция Ламберта
- x! или factorial(x)
- Факториал от x
- DiracDelta(x)
- Дельта-функция Дирака
- Heaviside(x)
- Функция Хевисайда
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
- 2*x
- – умножение
- 3/x
- – деление
- x^3
- – возведение в степень
- x + 7
- – сложение
- x - 6
- – вычитание
- 15/7
- – дробь
- asec(x)
- Функция – арксеканс от x
- acsc(x)
- Функция – арккосеканс от x
- sec(x)
- Функция – секанс от x
- csc(x)
- Функция – косеканс от x
- floor(x)
- Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5) == 4.0)
- ceiling(x)
- Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция – Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
- asech(x)
- Функция – гиперболический арксеканс от x
- csch(x)
- Функция – гиперболический косеканс от x
- sech(x)
- Функция – гиперболический секанс от x
- acsch(x)
- Функция – гиперболический арккосеканс от x
- pi
- Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
- e
- Число e – основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
- i
- Комплексная единица
- oo
- Символ бесконечности – знак для бесконечности